Analisis Rangkaian Elektrik - Ee-cafe.org

11.2. Konvolusi dan Fungsi AlihJika h(t) adalah tanggapan rangkaian terhadap sinyal impuls dan x(t)adalah sinyal masukan, maka sinyal keluaran y(t) dapat diperoleh melaluiintegral konvolusi yaitu∫y ( t)= t h(τ)x(t − τ)dτ(11.2)0Dalam integral konvolusi ini batas integrasi adalah τ = 0 sampai τ = tkarena dalam penurunan formulasi ini h(t) dan x(t) merupakan bentukgelombang kausal. Jika batas integrasi tersebut diperlebar mulai dari τ =−∞ sampai τ = +∞, (11.2) menjadiy ( t)=∫ +∞ h(τ)x(t − τ)dτ(11.3)τ= −∞Persamaan (11.3) ini merupakan bentuk umum dari integral konvolusiyang berlaku untuk bentuk gelombang kausal maupun non-kausal.Transformasi Fourier untuk kedua ruas (11.3) adalahF⎡ +∞( = Y ( ω)= F ⎢∫⎣ τ=−∞[ y t)]⎤h(τ)x(t − τ)dτ⎥⎦∞ ⎡ +∞⎤ − jωt=∫ ⎢=−∞ ∫h(τ)x(t − τ)dτ⎥e dtt ⎣ τ=−∞⎦Pertukaran urutan integrasi pada (11.4) memberikan(11.4)∞ ⎡ +∞Y ( ω)=∫ ⎢τ=−∞ ⎣∫t=−∞− jωt⎤h(τ)x(t − τ)e dt⎥dτ⎦∞ ⎡ +∞− jωt⎤=∫h(τ)⎢τ=−∞ ∫x(t − τ)e dt⎥dτ⎣ t=−∞⎦(11.5)Mengingat sifat pergeseran waktu pada transformasi Fourier, maka(11.5) dapat ditulisY ( ω)=∞− jωτh(τ)e X ( ω)dττ=−∞∫⎡ ∞− jωτ⎤= ⎢ ( τ)τ⎥( ω)⎣∫h e d Xτ=−∞⎦= H(ω)X ( ω)(11.6)225