Lineær Algebra Differentialligninger

More documents

Recommendations

Info

96 Opgaver Opgave 3. Angiv den fuldstændige løsning til differentialligningen dy = y + 1 dx Angiv endvidere den partikulære løsning y(x), der opfylder y(0) = 1. Opgave 4. Angiv den fuldstændige løsning til differentialligningen y ′ = y − x Angiv endvidere den partikulære løsning y(x), der opfylder y(0) = 1. Opgave 5. Angiv den fuldstændige løsning til differentialligningen dy = 2xy + ex2 dx Angiv endvidere den partikulære løsning y(x), der opfylder y(1) = e + 1. Opgave 6. 1) Angiv den fuldstændige løsning til differentialligningen dy = cos(x)y dx Angiv endvidere den partikulære løsning y(x), der opfylder y(π) = 1. 2) Angiv den fuldstændige løsning til differentialligningen dy = cos(x)y + 2cos(x) − sin(2x) dx (Vink: gæt en løsning p˚a formen z0(x) = c1 cos(x) + c2 sin(x).) Opgave 7. Angiv for alle a den fuldstændige løsning til differentialligningen y ′ = ay + e x 15 <strong>Lineær</strong>t system - 2 ligninger Det lineære differentialligningssystem er en umiddelbar, men meget kraftig udvidelse af den lineære differentialligning. Kun tilfældet med konstante koefficienter behandles. Ved indragelse af matrixmetoder, egenvektorer og
15. LINEÆRT SYSTEM - 2 LIGNINGER 97 engenværdier kan et system af differentialligninger reduceres til lineære differentialligninger, som kan løses ved metoder fra afsnit 14. Tilfældet med to ligninger behandles særskilt i dette afsnit. En præcis definition efterfølges af en sætning om løsningsrummets lineære struktur. En egenvektor giver en 1-parameter mængde af løsninger. For en diagonaliserbar matrix kan den fuldstændige løsning angives. Et par opgaveforslag behandles. I næste afsnit gives den generelle formulering for et vilk˚arligt antal ligninger. Den præcise definition og gængs sprogbrug er en umiddelbar udvidelse af tilsvarende definition og sprogbrug i afsnit 14. Definition 1. Ved et lineœrt 1. ordens differentialligningssystem (2 ligninger) med konstante koefficienter forst˚as dy1 dx = a11y1 + a12y2 + b1 dy2 dx = a21y1 + a22y2 + b2 En partikulær løsning er differentiable funktioner som indsat opfylder ligningerne x ↦→ y1(x), x ↦→ y2(x) y ′ 1 (x) = a11y1(x) + a12y2(x) + b1 y ′ 2(x) = a21y1(x) + a22y2(x) + b2 Løsningsrummet, den fuldstændige løsning er angivelsen af alle løsninger. For 2 × 2-matricen A = (aij), koefficientmatricen, og 2-søjlerne b = (bi), y(x) = (yi(x)) skrives det lineære differentialligningssystem eller dy1 dx dy2 = dx En løsning skrives dy dx a11 a12 = Ay + b a21 a22 x ↦→ y(x) = y1 + y2 y1(x) y2(x) Bemærkning 1. Givet 2 × 2-matricen A = (aij) og 2-søjlerne b = (bi), y(x) = (yi(x)) kaldes systemet dy dx = Ay b1 b2
Page 1:
Lineær Algebra og Differentiallign
Page 5 and 6:
1. KOORDINATVEKTORER 1 Dette notes
Page 7 and 8:
1. KOORDINATVEKTORER 3 P˚a grund a
Page 9 and 10:
1. KOORDINATVEKTORER 5 span(u 1, u
Page 11 and 12:
2. MATRICER 7 med reelle tal. Rækk
Page 13 and 14:
2. MATRICER 9 Sætning 2 Givet en m
Page 15 and 16:
2. MATRICER 11 hvor enkeltlinier be
Page 17 and 18:
2. MATRICER 13 2.2 Kædereglen i ma
Page 19 and 20:
3. LINEÆRE FUNKTIONER 15 3 Lineær
Page 21 and 22:
3. LINEÆRE FUNKTIONER 17 et fast t
Page 23 and 24:
3. LINEÆRE FUNKTIONER 19 Bevis. La
Page 25 and 26:
4. INVERSE MATRICER 21 Hvis B er b
Page 27 and 28:
5. LINEÆRE LIGNINGSSYSTEMER 23 et
Page 29 and 30:
5. LINEÆRE LIGNINGSSYSTEMER 25 Den
Page 31 and 32:
5. LINEÆRE LIGNINGSSYSTEMER 27 lig
Page 33 and 34:
5. LINEÆRE LIGNINGSSYSTEMER 29 end
Page 35 and 36:
5. LINEÆRE LIGNINGSSYSTEMER 31 Vi
Page 37 and 38:
6. LØSNINGSTEKNIK 33 der indsat i
Page 39 and 40:
6. LØSNINGSTEKNIK 35 ⎡ ⎣ 2 −
Page 41 and 42:
6. LØSNINGSTEKNIK 37 lutter 0’er
Page 43 and 44:
6. LØSNINGSTEKNIK 39 Eksempel 1. V
Page 45 and 46:
6. LØSNINGSTEKNIK 41 Opgaver Opgav
Page 47 and 48:
7. RÆKKEOPERATIONS-MATRICER OG INV
Page 49 and 50: 7. RÆKKEOPERATIONS-MATRICER OG INV
Page 51 and 52: 7. RÆKKEOPERATIONS-MATRICER OG INV
Page 53 and 54: 8. DETERMINANTER 49 2) Hvad er ledn
Page 55 and 56: 8. DETERMINANTER 51 det(I n ) = 1 E
Page 57 and 58: 8. DETERMINANTER 53 nederst”), m
Page 59 and 60: 9. EGENVÆRDIER OG EGENVEKTORER 55
Page 69 and 70: 10. DIAGONALISERING 65 Ved en diago
Page 71 and 72: 10. DIAGONALISERING 67 og mere gene
Page 73 and 74: 10. DIAGONALISERING 69 dobbeltrod (
Page 75 and 76: 10. DIAGONALISERING 71 Udregn speci
Page 77 and 78: 11. SKALARPRODUKT I R N 73 s˚a er
Page 79 and 80: 12. ORTOGONAL PROJEKTION 75 udspæn
Page 81 and 82: 12. ORTOGONAL PROJEKTION 77 Nævner
Page 83 and 84: 12. ORTOGONAL PROJEKTION 79 Venstre
Page 85 and 86: 12. ORTOGONAL PROJEKTION 81 12.1 Mi
Page 87 and 88: 12. ORTOGONAL PROJEKTION 83 Med not
Page 89 and 90: 13. ANDRE SÆTNINGER OM SKALARPRODU
Page 91 and 92: 13. ANDRE SÆTNINGER OM SKALARPRODU
Page 93 and 94: 14. LINEÆR DIFFERENTIALLIGNING 89
Page 99: 14. LINEÆR DIFFERENTIALLIGNING 95
Page 103 and 104: 15. LINEÆRT SYSTEM - 2 LIGNINGER 9
Page 111 and 112: 16. LINEÆRT SYSTEM - N LIGNINGER 1
Page 113 and 114: 16. LINEÆRT SYSTEM - N LIGNINGER 1
Page 115 and 116: 17. GENEREL LIGNING 111 Definition
Page 117 and 118: 18. STABILITET 113 Eksempel 3.[Eksp
Page 119 and 120: 18. STABILITET 115 Eksempel 1.[Logi
Page 121 and 122: Index 1. ordens differentialligning
Page 123: INDEX 119 skalarprodukt, 72 span, 4
show all

Lineær Algebra Differentialligninger

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?