Lineær Algebra Differentialligninger

90
Bevis.
z ′ = C1z ′ 1 + C2z ′ 2 = C1az1 + C2az2 = az
giver første del. For anden del ses, at
er løsning til den homogene part.
y − z0
Ligningen med konstante koefficienter er særlig nem. Den er separabel og
løses ved integration. Ved brug af den lineære struktur kan løsningen opdeles
i det homogene problem og angivelse af bare én partikulær løsning.
Sætning 23 Den lineœre ligning med konstante koefficienter
dy
dx
= ay + b
har fuldstœndig løsning givet ved
a = 0:
y(x) = C + bx
a = 0:
y(x) = Ce ax − b
a
hvor C er arbitrœr. Specielt er den konstante funktion y(x) = −b/a en
løsning.
Bevis. Den homogene part
er separabel med løsninger
Afslut ved Sætning 22.
dy
dx
= ay
dy
y =
a(x)dx
ln |y| = ax + K
y(x) = Ce ax