Lineær Algebra Differentialligninger
Lineær Algebra Differentialligninger
Lineær Algebra Differentialligninger
You also want an ePaper? Increase the reach of your titles
YUMPU automatically turns print PDFs into web optimized ePapers that Google loves.
8<br />
Det anbefales, at man øver sig i matrix-multiplikation med sin krop<br />
(hænder): venstre h˚and bevæger sig hen langs i’te række i matricen A, samtidig<br />
med at højre h˚and bevæger sig ned gennem k’te søjle i matricen B, og<br />
den relevante produktsum dannes under dette forløb, evt. ved hovedregning.<br />
Eksempel 1.<br />
2 1 −2<br />
5 3 −4<br />
⎡<br />
<br />
· ⎣<br />
5 0<br />
−7 1<br />
1 1<br />
2<br />
⎤<br />
⎦ =<br />
1 0<br />
0 1<br />
F.eks. er 1-tallet i nederste højre hjørne fremkommet som<br />
Eksempel 2.<br />
2 1 −2<br />
5 3 −4<br />
⎡<br />
<br />
· ⎣<br />
3<br />
0<br />
1<br />
⎤<br />
5 · 0 + 3 · 1 + (−4) · 1<br />
2 .<br />
⎦ =<br />
4<br />
11<br />
<br />
<br />
2<br />
= 3<br />
5<br />
<br />
<br />
1<br />
+ 0<br />
3<br />
<br />
.<br />
<br />
<br />
−2<br />
+ 1<br />
−4<br />
Sætning 1 Matrix multiplikation er associativ. Mere præcis, lad A, B, og<br />
C være henholdsvis en m × n, n × p og p × q matrix. S˚a gælder<br />
(A · B) · C = A · (B · C).<br />
Dette følger af elementære regneregler for plus og gange, men kræver omhu<br />
med bogholderiet over summations-indices.<br />
Selv hvis formaterne passer, gælder der ikke i almindelighed at A · B =<br />
B · A, sml. Opg. 1. Faktorernes orden er ikke ligegyldig.<br />
Særlig vigtige er matrixprodukter A · B hvor B er en søjlematrix. Lad os<br />
antage, at A er en m×n matrix og B er en n×1 matrix, alts˚a en søjlematrix<br />
af dimension n. S˚a er produktet A · B af format m × 1, alts˚a en søjlematrix<br />
af dimension m. (Dette synspunkt behandles mere udførligt i §3.)<br />
Der er en vigtig sammenhæng mellem begreberne linearkombination, og<br />
matrix-produkt: betragt et matrixprodukt af form af form A · x, hvor x er<br />
en søjlematrix, (af den rette størrelse, for at produktet giver mening, dvs, x<br />
skal have lige s˚a mange indgange som A har søjler, lad os sige at dette antal<br />
er n). Der gælder<br />
<br />
.