Lineær Algebra Differentialligninger
Lineær Algebra Differentialligninger
Lineær Algebra Differentialligninger
Create successful ePaper yourself
Turn your PDF publications into a flip-book with our unique Google optimized e-Paper software.
5. LINEÆRE LIGNINGSSYSTEMER 23<br />
et s˚adant ligningssystem kan enten betyde, at man angiver et n-tupel af<br />
tal, der opfylder samtlige ligninger i ligningssystemet, eller at man beskriver<br />
løsningsmængden, dvs. mængden af samtlige n-tupler, der opfylder ligningssystemet.<br />
Man taler om henholdsvis en partikulær og den fuldstændige løsning.<br />
Helt generelt kan man sige, at jo færre ligninger, der er, jo større er løsningsmængden,<br />
(der er færre krav, der skal være opfyldt), og jo lettere er det at<br />
finde en partikulær løsning. Derudover er der ikke meget, der kan siges eller<br />
gøres rent generelt, udover den gamle metode: at eliminere de ubekendte en<br />
efter en. I [S] s. 814 ledes man s˚aledes til at skulle løse et ligningssystem (2<br />
ligninger med 2 ubekendte) som er ikke-lineært:<br />
2x(10y − 5 − 2x 2 ) = 0<br />
5x 2 − 4y − 4y 3 = 0.<br />
Linearitet af et ligningssystem betyder, at de ubekendte x, y o.s.v. kun<br />
indg˚ar i første potens x 1 (= x), y 1 , ..., og ikke multipliceres p˚a hinanden.<br />
S˚adanne ligningssystemer kan opstilles som matrix-ligninger, se nedenfor.<br />
Mere præcist:<br />
Ved et lineært ligningssystem (m ligninger med n ubekendte) forst˚as et<br />
ligningssystem af form<br />
a11x1 + a12x2 + . . . + a1nxn = b1<br />
a21x1 + a22x2 + . . . + a2nxn = b2<br />
am1x1 + am2x2 + . . . + amnxn = bm<br />
Her betegner aij’erne og bi’erne kendte tal, mens x1, . . .xn er de n “ubekendte”<br />
(eller tilsammen den ubekendte vektor x ∈ R n ).<br />
Eksempel 1.<br />
2x1 −2x2 −4x3 = −28<br />
x2 +2x3 = 16<br />
.<br />
(7)<br />
. (8)<br />
En partikulær løsning er f.eks. (x1, x2, x3) = (2, 16, 0), hvad man kan se ved<br />
indsættelse. Den fuldstændige løsning viser sig at kunne beskrives med én<br />
parameter t ∈ R; f.eks som<br />
(2, 16, 0) + t · (0, −2, 1),<br />
hvor parameteren t løber over alle reelle tal. – Man siger, at løsningsmængden<br />
er 1-dimensional, fordi der skal bruges 1 parameter.