Lineær Algebra Differentialligninger

80
Sætning 18 (Pythagoras) Hvis a ⊥ b, s˚a |a| 2 + |b| 2 = |a + b| 2 .
Bevis. Vi regner p˚a ligningens højre side:
|a + b| 2 = (a + b) • (a + b),
som ifølge Grundegenskab 3 kan multipliceres ud til
a • a + a • b + b • a + b • b,
men her forsvinder de to midterste led, da a ⊥ b, dvs. a • b = b • a = 0.
Tilbage bliver a • a + b • b, dvs |a| 2 + |b| 2 . 8
Ved ortogonal projektion løser man en vigtig minimeringsopgave; det
er en anvendelse af Pythagoras, som man med fordel kan prøve at lave en
tegning til (en retvinklet trekant; tegn U som en linie).
Sætning 19 Lad U ⊆ V være et lineært underrum af et vektorrum V med
skalarprodukt. Antag, at vektoren v har ortogonal projektion u p˚a U. S˚a er
u den vektor i U, der har kortest afstand til v.
Bevis. At u ∈ U er den ortogonale projektion af v p˚a U betyder at v−u ⊥ U.
Lad nu u ′ være en vilk˚arlig anden vektor i U. S˚a er u − u ′ ∈ U, da U var
forudsat at være et lineært underrum. Dermed er v − u ⊥ u − u ′ . Ifølge
Pythagoras’ Sætning gælder der derfor
alts˚a
|v − u| 2 + |u − u ′ | 2 = |(v − u) + (u − u ′ )| 2 ,
|v − u| 2 + |u − u ′ | 2 = |v − u ′ | 2 .
Da |u − u ′ | 2 > 0 fordi u = u ′ , følger det heraf at
|v − u| 2 < |v − u ′ | 2 ,
og s˚a gælder ogs˚a |v − u| < |v − u ′ |, da det jo drejer sig om positive tal.
Bemærkning 3. Der gælder ogs˚a omvendt, at en vektor i U, der minimerer
afstanden til v, er den ortogonale projektion af v p˚a U. Problemet med at
finde den ortogonale projektion af v p˚a U kan derfor ogs˚a stilles op som et
problem om ekstremum (minimum) under bibetingelse. Derfor kan metoden
med ‘Lagrange multiplikatorer’ i princippet anvendes til at finde ortogonale
projektioner med. Funktionen, der skal minimeres, er: afstand fra v til u
(her er v fastholdt), og bibetingelsen er: u tilhører U. Metoden kræver, at
U er givet som niveau“flade” for en eller flere (lineære) funktioner.
8 Det var ikke opdagelsen af s˚adan et trivielt bevis der fik Pythagoras til at ofre en
masse okser; det dybtliggende i Pythagoras’ opdagelse ligger gemt i karakteren af den
identifikation mellem R 2 og den geometriske plan, som vi her har forudsat.