Lineær Algebra Differentialligninger

More documents

Recommendations

Info

64 Opgave 8. Angiv for hvert reelt tal a egenrummet E2 for matricen 2 a 0 2 Opgave 9. Angiv egenværdierne og de tilhørende egenrum for matricen ⎡ 1 ⎤ ⎢ ⎣ 1 ⎥ 1 ⎦ 1 med 0’er p˚a de ikke-afmærkede pladser. Facit: egenværdierne er λ = 1 og λ = −1. De tilhørende egenrum er henholdsvis span(e 1 ,e 2 ,e 3 + e 4 ) og span(e 3 − e 4 ). Eller: E1 = mængden af vektorer af form (r,s,t,t). E−1 = mængden af vektorer af form (0,0,t, −t). Opgave 10. Betragt matricen ⎡ A = ⎣ 1 −3 3 0 −5 6 0 −3 4 1) Angiv samtlige egenvektorer hørende til egenværdien λ = 1 for A. 2) Angiv samtlige egenværdier for A. 10 Diagonalisering Den koordinatvektor i Rn , der har et 1-tal p˚a i’te plads og 0’er ellers, betegnes i det følgende e (n) i , eller blot ei , n˚ar n fremg˚ar af sammenhængen; vi kalder den (den i’te) standard-enhedsvektor. Den kan ogs˚a beskrives som i’te søjle i matricen I . n Vi vil i reglen tænke os ei skrevet som en søjlematrix, f.eks. i følgende observation: ⎤ ⎦ . For en vilk˚arlig m×n matrix C gælder, at C ·e i er den i’te søjle i C. (Der er her tale om e i = e (n) i ; ellers ville matrix-produktet ikke give mening.) Dette er en direkte simpel udregning. Hvis c i betegner den i’te søjle i C, har vi alts˚a C · e i = c i. (30) Hvis C har en invers matrix C −1 , f˚ar vi, ved at venstre-multiplicere begge sider af denne matrixligning med C −1 , at e i = C −1 · c i . (31) .
10. DIAGONALISERING 65 Ved en diagonal-matrix forst˚ar vi en kvadratisk matrix, hvor alle indgange uden for diagonalen er 0, alts˚a en matrix af form ⎡ ⎢ ⎣ λ1 λ2 .. . λn ⎤ ⎥ ⎦ (32) med 0’er udenfor diagonalen. F.eks. er enhedsmatricen I n en diagonalmatrix. Læg mærke til, at ⎡ ⎢ ⎣ λ1 λ2 . .. λn ⎤ ⎥ ⎦ · ei = λi · ei, s˚a at λi alts˚a er en egenværdi for diagonalmatricen (32) (med e i som en tilhørende egenvektor). At diagonalisere en kvadratisk matrix A vil sige at finde en invertibel matrix B og en diagonalmatrix Λ s˚a at A = B · Λ · B −1 . (33) Denne ligning er (forudsat at B er invertibel) ensbetydende med hver af følgende ligninger A · B = B · Λ (34) B −1 · A · B = Λ. (35) F.eks. kommer man fra (33) til (34) ved at højre-multiplicere begge sider af (33) med B. Ikke alle kvadratiske matricer kan diagonaliseres, se f.eks. Eksempel 3 nedenfor. Diagonalisering hænger sammen med egenvektorer: Hvis A kan diagonaliseres ved hj. af B og Λ, som ovenfor (33), s˚a er den i’te søjle b i i B en egenvektor for A med egenværdi λi. Thi A · b i = B · Λ · B −1 · b i = B · Λ · e i = B · λi · e i = λi · B · e i = λi · b i, hvor vi har brugt (31) til det andet lighedstegn. Omvendt:
Page 1:
Lineær Algebra og Differentiallign
Page 5 and 6:
1. KOORDINATVEKTORER 1 Dette notes
Page 7 and 8:
1. KOORDINATVEKTORER 3 P˚a grund a
Page 9 and 10:
1. KOORDINATVEKTORER 5 span(u 1, u
Page 11 and 12:
2. MATRICER 7 med reelle tal. Rækk
Page 13 and 14:
2. MATRICER 9 Sætning 2 Givet en m
Page 15 and 16:
2. MATRICER 11 hvor enkeltlinier be
Page 17 and 18: 2. MATRICER 13 2.2 Kædereglen i ma
Page 19 and 20: 3. LINEÆRE FUNKTIONER 15 3 Lineær
Page 21 and 22: 3. LINEÆRE FUNKTIONER 17 et fast t
Page 23 and 24: 3. LINEÆRE FUNKTIONER 19 Bevis. La
Page 25 and 26: 4. INVERSE MATRICER 21 Hvis B er b
Page 27 and 28: 5. LINEÆRE LIGNINGSSYSTEMER 23 et
Page 29 and 30: 5. LINEÆRE LIGNINGSSYSTEMER 25 Den
Page 31 and 32: 5. LINEÆRE LIGNINGSSYSTEMER 27 lig
Page 33 and 34: 5. LINEÆRE LIGNINGSSYSTEMER 29 end
Page 35 and 36: 5. LINEÆRE LIGNINGSSYSTEMER 31 Vi
Page 37 and 38: 6. LØSNINGSTEKNIK 33 der indsat i
Page 39 and 40: 6. LØSNINGSTEKNIK 35 ⎡ ⎣ 2 −
Page 41 and 42: 6. LØSNINGSTEKNIK 37 lutter 0’er
Page 43 and 44: 6. LØSNINGSTEKNIK 39 Eksempel 1. V
Page 45 and 46: 6. LØSNINGSTEKNIK 41 Opgaver Opgav
Page 47 and 48: 7. RÆKKEOPERATIONS-MATRICER OG INV
Page 53 and 54: 8. DETERMINANTER 49 2) Hvad er ledn
Page 55 and 56: 8. DETERMINANTER 51 det(I n ) = 1 E
Page 57 and 58: 8. DETERMINANTER 53 nederst”), m
Page 59 and 60: 9. EGENVÆRDIER OG EGENVEKTORER 55
Page 67: 9. EGENVÆRDIER OG EGENVEKTORER 63
Page 71 and 72: 10. DIAGONALISERING 67 og mere gene
Page 73 and 74: 10. DIAGONALISERING 69 dobbeltrod (
Page 75 and 76: 10. DIAGONALISERING 71 Udregn speci
Page 77 and 78: 11. SKALARPRODUKT I R N 73 s˚a er
Page 79 and 80: 12. ORTOGONAL PROJEKTION 75 udspæn
Page 81 and 82: 12. ORTOGONAL PROJEKTION 77 Nævner
Page 83 and 84: 12. ORTOGONAL PROJEKTION 79 Venstre
Page 85 and 86: 12. ORTOGONAL PROJEKTION 81 12.1 Mi
Page 87 and 88: 12. ORTOGONAL PROJEKTION 83 Med not
Page 89 and 90: 13. ANDRE SÆTNINGER OM SKALARPRODU
Page 91 and 92: 13. ANDRE SÆTNINGER OM SKALARPRODU
Page 93 and 94: 14. LINEÆR DIFFERENTIALLIGNING 89
Page 101 and 102: 15. LINEÆRT SYSTEM - 2 LIGNINGER 9
Page 111 and 112: 16. LINEÆRT SYSTEM - N LIGNINGER 1
Page 113 and 114: 16. LINEÆRT SYSTEM - N LIGNINGER 1
Page 115 and 116: 17. GENEREL LIGNING 111 Definition
Page 117 and 118: 18. STABILITET 113 Eksempel 3.[Eksp
Page 119 and 120:
18. STABILITET 115 Eksempel 1.[Logi
Page 121 and 122:
Index 1. ordens differentialligning
Page 123:
INDEX 119 skalarprodukt, 72 span, 4
show all

Lineær Algebra Differentialligninger

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?