Lineær Algebra Differentialligninger

12. ORTOGONAL PROJEKTION 77
Nævneren er = 0, da a var en egentlig vektor. Vi har nu gennemført det,
der i matematikkens metodelære kaldes en analyse: hvis der er en ortogonal
projektion af v p˚a linien udspændt af a, m˚a den være af form u = λa med
λ = den fundne brøk; alts˚a
u =
a • v
a. (41)
a • a
Efter en analyse følger en syntese. Det vil her sige, at vi efterprøver, om
den vektor (41), vi har analyseret os frem til, virkelig opfylder kravet for
ortogonal projektion. Det vil sige, at vi efterprøver om restvektoren v − u
(med u givet ved (41)) er ⊥ U, og til dette er det nok at efterse om
a • (v −
a • v
a) = 0;
a • a
det er en let regning at vise dette (i det væsentlige en regning, vi allerede
har gennemført).
Vi kan opsummere den udledte formel for ortogonal projektion p˚a det
1-dimensionale underrum U = span(a):
proja(v) =
a • v
a • a a. (42)
(sammenlign iøvrigt med [S] s. 665.)
Læg mærke til, at a forekommer fire gange, to gange i nævneren og to
gange i “tælleren”; s˚a hvis vi udskifter a med en vektor af form ta, (t =
0)“hæver de fire t’er hinanden”, og vi f˚ar samme resultat. S˚adan skulle det
jo ogs˚a gerne være: a og ta udspænder jo samme 1-dimensionale underrum
U, og den ortogonale projektion af v p˚a U afhænger kun af v og U.
Eksempel 1. Find den ortogonale projektion af vektoren v = (1, 18) ∈ R 2
p˚a det lineære underrum U udpændt af a = (3, 4). Hvis vi vil bruge formlen
(42), f˚ar vi brug for a·v = (3, 4)·(1, 18) = 75 og a·a = (3, 4)·(3, 4) = 25. (Vi
skriver her, og visse andre steder senere, skalarproduktet med en almindelig
prik, · i stedet for med •.) Formlen (42) giver s˚a
projU(v) = proja(v) = 75
a = 3a = (9, 12).
25
Vi kan gøre prøve ved at indse, at ((1, 18) − (9, 12)) · (3, 4) = 0.
Det kan anbefales, som en øvelse, at udregne nogle forskellige “proja(v)’er”
i R 2 , og samtidig tegne de indg˚aende vektorer op p˚a ternet papir.