Lineær Algebra Differentialligninger

44
en nulrække nederst. Da vi lige har forkastet denne sidste mulighed, m˚a A
alts˚a ved rækkeoperationer kunne føres over i identitetsmatricen.
Matrixteoretisk udtrykt: der findes en matrix C s˚a C · A = I m (hvor C
er et produkt af række-operations-matricer).
Vi har alts˚a nu m × m matricer C og B, der opfylder
C · A = I og A · B = I
(sidstnævnte pr. forudsætning om A). Nu kan vi gennemføre det samme
rent formelle argument, vi har set før, til at konkludere, at s˚a m˚a B = C,
s˚a at B alts˚a er en to-sidet invers til A: dette formelle argument er (idet vi
skriver I for I m )
Sætningen er bevist.
C = C · I = C · A · B = I · B = B.
Ud fra beviset kan vi faktisk aflæse en effektiv metode til at finde den
inverse til en invertibel matrix A. Det fremg˚ar af beviset, at den inverse til
A netop er det produkt C af række-transformations-matricer, der blev brugt
for at bringe A p˚a form I. Bærer man sig praktisk ad, er det ikke nødvendigt
at skrive alle disse række-operations-matricer op, der indg˚ar i C; vi er kun
interesseret i deres produkt, og det vil jo være lig den samlede effekt af at
udføre rækkeoperationerne p˚a identitetsmatricen I. En praktisk recept er
alts˚a:
• skriv A og I m op ved siden af hinanden som en m×2m matrix, og udfør
de rækkeoperationer p˚a denne matrix, der skal bruges for at bringe
A (alts˚a matricens venstre halvdel) p˚a form I m . I matricens højre
halvdel vil de brugte rækkeoperationer s˚a som effekt efterlade matricen
C (=den inverse til A).
Eksempel 1. Vi benytter denne metode til at invertere 2 × 2 matricen
A =
Vi opskriver 2 × 4 matricen A | I 2 ,
2 1
5 3
2 1 1
5 3 1
(med 0’er p˚a de ikke-afmærkede pladser). Vi udfører rækkeoperationer
.
,