Lineær Algebra Differentialligninger

14. LINEÆR DIFFERENTIALLIGNING 89
En rimelig præcis definition af den lineære ligning og lidt almindelig sprogbrug,
der bruges i de fleste fremstillinger, følger her.
Definition 1. Den lineœre 1. ordens differentialligning er
dy
dx
= a(x)y + b(x)
En partikulær løsning er en differentiabel funktion y(x) som opfylder
y ′ (x) = a(x)y(x) + b(x)
Den fuldstœndige løsning er en angivelse af alle løsninger, ogs˚a kaldet løsningsrummet.
Ligningen dy
= a(x)y kaldes homogen og er den homogene part af
dx
den inhomogene, b = 0, ligning ovenfor.
Den lineære differentiallignings form har en afgørende betydning for strukturen
af løsningsrummet. I det homogene tilfælde er linearkombinationer af
løsninger igen løsninger. Det kaldes i anvendelsessammenhænge ofte for “superpositionsprincippet”.
Formuleringen af følgende sætning er inspireret af
lineær algebra. Det ses, at løsningen af det inhomogene problem reduceres
til det tilsvarende homogene problem samt angivelse af bare én partikulær
løsning.
Sætning 22 Hvis z1(x), z2(x) er løsninger til den homogene lineœre differentialligning
dy
= a(x)y
dx
s˚a er enhver linearkombination
z(x) = C1z1(x) + C2z2(x)
ogs˚a en løsning.
Hvis z0(x) er en løsning til den inhomogene lineœre differentialligning
dy
dx
s˚a er enhver løsning af formen
= a(x)y + b(x)
y(x) = z(x) + z0(x)
hvor z(x) er en løsning til den homogene part af systemet.