Lineær Algebra Differentialligninger

88
(symmetrien af H P (f) fremg˚ar af “Clairaut’s Sætning”, [S] s. 773 eller af
formel (14) s. 715 i [EP], for tilfældet n = 2.)
Denne matrix kan diagonaliseres, ifølge en berømt sætning, der kaldes
Spektralsætningen, og som siger: “Enhver symmetrisk matrix kan diagonaliseres”;
indgangene i den diagonaliserede matrix er netop egenværdierne,
og de giver information om maxima og minimima p˚a følgende m˚ade:
Hvis alle egenværdier for H P (f) er positive, har funktionen f et lokalt
minimum i P. Hvis alle egenværdier er negative, har f et lokalt maximum i
P. Hvis der b˚ade forekommer positive og negative egenværdier, har f ikke et
lokalt ekstremum i P.
Dette udsagn indeholder “second derivative test”, [S] s. 812. Polynomiet
1/2H P (f) indg˚ar som 2.grads led i 2. grads “Taylor Polynomium i flere variable”,
som omtalt i “Discovery Project” s. 821 i [S].
Opgaver
Opgave 1. Verificer (evt. v.hj. af lommeregner) Cauchy-Schwarz’ ulighed for de
to vektorer i R 4 givet ved (1,2,3,4) og (2,3,4,5). Udregn ogs˚a vinklen mellem
dem.
Opgave 2. Verificer (evt. v.hj. af lommeregner) trekantsuligheden for de to vektorer
i R 4 givet ved (1,2,3,4) og (2,3,4,5).
Opgave 3. Betragt funktionen f(x,y,z) = 2x 2 + 2y 2 + 2z 2 − xz. Undersøg, om
den antager et lokalt ekstremum i (0,0,0).
Opgave 4. Betragt funktionen
f(x,y,z) = 3x 2 + 2y 2 + z 2 + 4xy + 4yz.
Vis, at gradientvektoren af f i origo O er nulvektoren. Undersøg, om funktionen
f(x,y,z) antager et ekstremum i O. (Vink: den halve Hesse matrix i origo har
bl.a. tallet 5 som egenværdi.)
Opgave 5. Udregn vinklen mellem vektorerne (3,5,8) og (5,8,13).
14 Lineær differentialligning
Den lineære 1. ordens differentialligning er den simpleste. Men den spiller en
stor rolle, da den i princippet nemt kan løses og løsningen kan bruges til at
tilnærme løsningen af en mere vanskelig differentialligning. Den lineære differentialligning
defineres rimeligt præcist og den lineære struktur af løsningsmængden
angives. Ligningen med konstante koefficienter er separabel og
løses ved integration. Den generelle ligning reduceres p˚a analog m˚ade og en
samlet formel angives. Resultaterne anvendes p˚a en populær opgavetype.