Lineær Algebra Differentialligninger

6. LØSNINGSTEKNIK 33
der indsat i den midterste ligning i (15) giver x2 +2·(3+ 3
2 x4)+6x4 = 4 eller
x2 = −2 − 9x4;
indsættes de fundne udtryk for x2 og x3 sluttelig i første ligning i (15) f˚as,
efter en smule regning,
x1 = −4 − 3x4,
s˚a at den fuldstændige løsning kan skrives med en parameter t = x4:
x1 = −4 − 3t
x2 = −2 − 9t
x3 = 3 + 3
2 t
x4 = t
. (16)
Vi ser, at løsningsmængden er udtrykt med én parameter, nemlig t (= x4),
i overensstemmelse med en “tommelfinger-regel” om, at antallet af parametre
(antal frihedsgrader, dimension) af løsningsmængden er lig med antallet af
ubekendte minus antallet af ligninger. Der skal en ekstra forudsætning p˚a,
før denne tommelfinger-regel bliver til en matematisk sætning, nemlig at
ligningerne er lineært uafhængige (et begreb, der behandles i videreg˚aende
lineær algebra).
Vi kan udtrykke løsningen mere kompakt under brug af den addition osv.,
som vi har indført for koordinatvektorer (her: i R 4 ): nemlig
x = (−4, −2, 3, 0) + t · (−3, −9, 3
, 1), (17)
2
(med t som parameter). I mængdeteoretisk notation kan løsningsmængden
beskrives
{(−4, −2, 3, 0) + t · (−3, −9, 3
, 1) | t ∈ R}.
2
Læg mærke til, at koordinatvektoren (−4, −2, 3, 0) her er en partikulær
løsning til (12).
Hvis man havde brugt en anden procedure - f.eks. sigtet efter at eliminere
x4 først ell.l. - kunne man være endt op med en helt anden, lige s˚a korrekt,
beskrivelse af samme løsningsmængde, men med f.eks. x1 som parameter.
Lad os delvis gennemregne endnu et eksempel, der viser, at vi ikke altid
frit kan vælge at have sidste variabel som parameter: systemet er som (12),
bortset fra at en enkelt koefficient (fremhævet skrift) er ændret:
2x1 −2x2 −4x3 −6x4 = −16
3x1 −2x2 −4x3 −3x4 = −20
−2x1 +5x2 +10x3 +21x4 = 34
. (18)