Lineær Algebra Differentialligninger

76
har skrevet v som en sum
v = u 1 + w 1 = u 2 + w 2
med u 1 ∈ U og u 2 ∈ U, og med w 1 ∈ U ⊥ og w 2 ∈ U ⊥ , s˚a f˚ar vi ved simpel
aritmetik at
u 1 − u 2 = w 2 − w 1 ; (40)
her er venstre side en linearkombination af to vektorer fra U, og alts˚a selv
en vektor i U (da U var et lineært underrum); tilsvarende er w 2 − w 1 en
linearkombination af to vektorer fra det lineære underrum U ⊥ , og alts˚a selv
en vektor i U ⊥ . Vektoren i (40) er alts˚a b˚ade i U og i U ⊥ , og er alts˚a = 0.
Alts˚a er u 1 = u 2 (og w 1 = w 2). Den ortogonale projektion u er alts˚a entydigt
bestemt.
Vi betegner den ortogonale projektion af en vektor v p˚a et lineært underrum
U med symbolet projU(v) (eller med proja(v) i tilfælde af at U er
1-dimensional, U = span(a)).
Definitionen kan ogs˚a udtrykkes: Givet v. Lad u være en vektor i U,
s˚adan at “restvektoren” v − u er ⊥ U. S˚a er u = projU(v).
✏✏✏✏✏✏✏✏✏✏✏✏✏✏✏ ✏✏✏✏✏✏✏✏✏✶ v✒❇▼
❇
“restvektoren”
❇ U
❇
projU(v)
✱ ✱✱✱✱✱✱✱
Her vil vi i første omgang kun vise eksistens af ortogonal projektion p˚a 1dimensionale
underrum U ⊆ V . Et 1-dimensionalt underrum er et underrum
af form U = span(a) = {λa | λ ∈ R}, hvor a er en fast, egentlig vektor i V .
Geometrisk er U alts˚a blot en linie med retningsvektor a. Givet en vektor
v ∈ V . Hvis den ortogonale projektion af v p˚a U eksisterer, er den alts˚a en
vektor af form λa, for passende λ, med den egenskab at restvektoren v −λa er
ortogonal p˚a U = span(a), og ifølge tømrer-princippet vil det være tilfældet
bare den er ortogonal p˚a a. Hvad skal λ opfylde for at opn˚a det ønskede
(v − λa) ⊥ a? Vi udtrykker dette ortogonalitets-ønske algebraisk:
0 = a • (v − λa) = a • v − λ(a • a)
(under brug af regnereglerne for •). Det er en ligning mellem tal; den kan
ogs˚a udtrykkes
a • v
λ =
a • a .