Lineær Algebra Differentialligninger

74
og heraf f˚as igen, at afstanden u −v mellem u og v er lig afstanden v −u
mellem v og u.
Ogs˚a ortogonalitetsbegrebet er “symmetrisk”: u er ortogonal p˚a v præcis
hvis v er ortogonal p˚a u, thi u • v = 0 præcis hvis v • u = 0 p˚a grund af
symmetriloven (Grundegenskab 2) for •. Læg mærke til, at nulvektoren 0 er
vinkelret p˚a alle vektorer, iflg. Grundegenskab 5. Specielt er 0 vinkelret p˚a
sig selv. Da a •a > 0 for a = 0, er 0 den eneste vektor, der er vinkelret p˚a sig
selv. (Derfor er 0 ogs˚a den eneste vektor, der st˚ar vinkelret p˚a alle vektorer
i R n .)
Hvis X er en vilk˚arlig mængde af vektorer i V = R n , s˚a betegner vi
med X ⊥ mængden af de vektorer i V , der st˚ar vinkelret p˚a alle vektorer i
X. Af Grundegenskab 3 følger, at hvis v 1 og v 2 er vektorer i X ⊥ , s˚a er ogs˚a
v 1 + v 2 i X ⊥ . Tilsvarende følger det af Grundegenskab 4 at hvis v ∈ X ⊥ , s˚a
er ogs˚a λv ∈ X ⊥ ; og endelig er 0 ∈ X ⊥ , da jo 0 er vinkelret p˚a alle vektorer
overhovedet, og specielt p˚a alle vektorer i mængden X. Vi har dermed vist, at
X ⊥ er et lineært underrum af V (stabilt under linearkombinationsdannelse);
dette lineære underrum X ⊥ kaldes det ortogonale komplement til X.
Hvis f.eks. u er en egentlig lodret vektor i det tredimensionale geometriske
rum, s˚a er u ⊥ det lineære underrum best˚aende af alle vandrette vektorer; hvis
Origo er valgt i gulvet, vil u ⊥ alts˚a være lig med (mængden af stedvektorer
for punkter i) gulvplanen, (forudsat gulvet er vandret).
Eksempel 1. Hvis V er et vektorrum med skalarprodukt gælder V ⊥ = {0},
thi 0 er den eneste vektor i V , der st˚ar vinkelret p˚a alle vektorer i V . Der
gælder ogs˚a {0} ⊥ = V ; for alle vektorer st˚ar vinkelret p˚a 0. - Vi skriver
normalt u ⊥ i stedet for {u} ⊥ .
Lad X være en (ikke-tom) mængde af vektorer i et vektorrum V . Vi kan
s˚a (sml.§1.2) definere et lineært underrum span(X) ⊆ V , eller underrummet
udspændt af X; det er pr. definition mængden af alle vektorer u, der kan
skrives som linearkombinationer af vektorer fra X, alts˚a som kan skrives p˚a
form
u = λ1x 1 + . . . + λnx n
(39)
for passende skalarer λ1, . . .,λn, og passende vektorer x 1, . . .,x n fra mængden
X. Her skal vi nøjes med at konstatere en vigtig konsekvens af skalarproduktets
linearitetsegenskaber, nemlig “tømrer-princippet”:
Antag at X udspænder underrummet U ⊆ V . Hvis en vektor w opfylder
w ⊥ x for alle x ∈ X, s˚a er w ⊥ U.
Bevis. Vi skal for vilk˚arlig vektor u ∈ U vise w ⊥ u. Da x’erne (x ∈ X)