Lineær Algebra Differentialligninger

28
Vi betragter først lineære ligningssystemer i to ubekendte. I det underbestemte
tilfælde er der alts˚a < 2 ligninger, alts˚a kun én ligning (s˚a det er lidt flot at kalde
det et lignings“system”, men det gør man alts˚a i matematik).
Eksempel: Det underbestemte lignings“system”
3x + 4y = 8.
Løsningsmængden er en linie med hældningskoefficient −3/4, der skærer y-aksen
i punktet (0,2).
Generelt: Hvis der er uendelig mange løsninger til et (ikke-trivielt) lineært
ligningssystem i to variable, s˚a udgør løsningsmængden en linie i planen. Heraf
kommer ordet lineært ligningssystem og lineær algebra.
Vi betragter dernæst lineære ligningssystemer i tre ubekendte.
Hvis lignings“systemet” kun best˚ar af én ligning, er løsningsmængden en plan.
Hvis ligningssystemet best˚ar af to ligninger, vil løsningsmængden som regel være
en linie, nemlig skæringslinien mellem de to planer givet ved hver af de to ligninger.
Se figurer i [S] s. 681.
En linie i planen eller rummet kan altid beskrives p˚a parameterform {x + tu |
t ∈ R}, hvor x er (stedvektor for) et punkt p˚a linien og u er en egentlig vektor,
en “retningsvektor” for linien. (Sml. [S] s. 676.) Punktet p˚a linien kan vælges
vilk˚arligt. Hvis u 1 og u 2 begge er retningsvektorer for linien, er de “parallelle”
eller “proportionale”, u 1 = λu 2 .
En plan i rummet kan ogs˚a beskrives p˚a parameterform, men der skal to
parametre til (en plan er “2-dimensional”), {x + su + tv}, hvor x er (stedvektor
for) et punkt i planen, og u og v tilsammen udspænder planens retning. Der
er stor vilk˚arlighed i valget af s˚adanne to vektorer; man kan ikke umiddelbart se
om u 1 ,v 1 udspænder det samme som u 2 ,v 2 . Derfor beskriver man tit planen ved
hjælp af en normalvektor til den (jvf. [S] s. 679) (En s˚adan normalvektor kan tages
som kryds-produktet af to vektorer, der udspænder planens retning). Men denne
beskrivelsesm˚ade fungerer kun for planer i det 3-dimensionale rum, ikke for planer
i 4- eller højere dimensionale rum. I dette kursus lægges vægt p˚a de metoder, der
ogs˚a gælder i højere dimensioner; og derfor undg˚ar vi brugen af kryds-produkt,
der kun fungerer i dimension 3.
Linier og planer i det 3-dimensionale rum R 3 kaldes ogs˚a affine underrum
af dimension hhv. 1 og 2, eller sommetider inhomogene lineære underrum; ordet
“lineære underrum” er reserveret til s˚adanne affine underrum, der indeholder 0
(origo) (s˚adan er sprogbrugen i det mindste i Lineær Algebra. )
F. eks.: et 1-dimensionalt affint underrum er af form U = {x + tu | t ∈ R};
linien V = {tu | t ∈ R} er et lineært underrum. Linien U er fremkommet ved
parallel-forskydning af linien V , ved forskydning langs vektoren x.
Dette gælder ogs˚a i højere dimensioner: Ethvert ikke-tomt affint underrum af
et vektorrum fremkommer ved parallelforskydning af et lineært underrum.
Løsningsmængden til et lineært ligningssystem i n ubekendte er altid et affint
underrum af R n . Løsningsmængden til et homogent lineært ligningssystem er