Lineær Algebra Differentialligninger

5. LINEÆRE LIGNINGSSYSTEMER 31
Vi stiller dette ligningssystem op i “standard format”, dvs. med de
tilsvarende ubekendte under hinanden p˚a venstre side af lighedstegnet, konstanterne
p˚a højre side:
4x1 −x2 −x3 = 0
−x1 +4x2 −x4 = 24
−x1 +4x3 −x4 = 0
−x2 −x3 +4x4 = 0
Det er et eksempel p˚a et lineært ligningssystem, som er kvadratisk (lige
s˚a mange ubekendte, som der er ligninger). Det ses let ved indsættelse, at
talsættet (vektoren) (2, 7, 1, 2) ∈ R4 er en løsning.
Som matrix-ligning ser ligningssystemet s˚adan ud:
⎡
⎢
⎣
4 −1 −1 0
−1 4 0 −1
−1 0 4 −1
0 −1 −1 4
⎤
⎥
⎦ ·
⎡
⎢
⎣
x1
x2
x3
x4
⎤
⎥
⎦ =
– I næste § beskrives en teknik til løsning af lineære ligningssystemer.
Opgaver
Opgaverne her er at opskrive de forelagte problemer som lineære ligningssystemer.
Opgave 1. Antag, at der om en 2 × 2 matrix A gælder, at
1
A ·
1
=
2
1
−1
og A ·
1
⎡
⎢
⎣
=
Opstil et lineært ligningssystem p˚a fire ligninger med fire ubekendte til bestemmelse
af A.
Opgave 2. Antag, at der om et trediegrads-polynomium f(x) = a0+a1x+a2x 2 +
a3x 3 gælder, at f ′ (0) = f ′ (1) = 0 og at f(0) = 2, f(1) = 0. Opstil et lineært
ligningssystem p˚a fire ligninger med fire ubekendte til bestemmelse af f (dvs. til
bestemmelse af a0,...,a3).
Opgave 3. Antag, at der om et fjerdegrads-polynomium f(x) = a0 +a1x+a2x 2 +
a3x 3 + a4x 4 gælder, at f ′ (0) = f ′ (1) = 0 og at f(0) = 2, f(1) = 0. Opstil et
lineært ligningssystem p˚a fire ligninger med fem ubekendte til bestemmelse af f
(dvs. til bestemmelse af a0,...,a4). Dette er et underbestemt ligningssystem: flere
ubekendte end ligninger. Det har uendelig mange løsninger.)
,
0
24
0
0
1
−1
⎤
⎥
⎦ .
.