Lineær Algebra Differentialligninger

8. DETERMINANTER 51
det(I n ) = 1
Eksempel 1. Udregn determinanten af orden 4
1 0 7 0
0 1 0 0
0 0 1 0 .
0 0 0 1
Fjerde søjle indeholder mange nuller; udvikling efter denne søjle giver kun ét
led, nemlig svarende til adressen (4,4),
(−1) 4+4
1 0 7
· 1 ·
0 1 0
0 0 1 =
1 0 7
0 1 0
0 0 1 ,
og den tredie ordens determinant, der indg˚ar her, kan passende udvikles efter
tredie række, der ogs˚a kun indeholder én indgang forskellig fra 0; og det giver
(−1) 3+3
· 1 · 1 0
0 1 = 1
Blandt kvadratiske matricer, der indeholder mange 0’er har vi rækkeoperations-matricerne,
hvis determinanter derfor er lette at udregne. Faktisk
er den 4 × 4 matrix, hvis determinant vi netop har udregnet, en rækkeoperations-matrix:
den svarer til “addition af 7 gange tredie række til første”;
og vi fandt, at dens determinant var 1. Der gælder generelt:
• en rækkeoperations-matrix, svarende til addition af et multiplum af en
række til en anden, har determinant 1;
• en rækkeoperations-matrix, svarende til ombytning af to rækker, har
determinant −1;
• en rækkeoperations-matrix, svarende til multiplikation af en række med
en skalar λ = 0, har determinant λ.
Specielt ser vi: determinanten af en vilk˚arlig rækkeoperations-matrix er
= 0.
Der er en smuk formel egenskab ved determinanter, som begrunder deres
anvendelighed: