Lineær Algebra Differentialligninger

60
Eksempel 7. Betragt matricen
⎡
A = ⎣
1 0 0
0 0 1
0 1 0
Angiv samtlige egenvektorer hørende til egenværdien λ = 1. Det kommer ud
p˚a at angive løsningsrummet til det homogene lineære ligningssystem med
koefficientmatrix ⎡
0 0
⎤
0
⎣ 0 −1 1 ⎦.
0 1 −1
De to sidste ligninger i dette ligningssystem udtrykker begge, at x2 = x3.
Hvilke b˚and lægger ligningssystemet p˚a værdien af x1? Ingen b˚and; x1 kan
vælges vilk˚arligt (en almindelig fejl er at konkludere, at ligningssystemet
tvinger x1 til at være 0). Egenrummet E1 best˚ar alts˚a af samtlige vektorer
af form (s, t, t). — Læg mærke til, at hvis vi vil løse ligningssystemet efter
recepten i §6, m˚a vi begynde med at bytte rækkerne om s˚a at den øverste
kommer nederst.
Eksempel 8. En modificeret Fibonacci-model. For at f˚a lidt lettere tal at
arbejde med, antager vi, at kaninerne i Fibonacci modellen er dobbelt s˚a
frugtbare som i Fibonacci’s oprindelige model; q par voksne kaniner vil p˚a
en m˚aned avle 2q par unger. Dvs. at populationsudviklingen p˚a en m˚aned
er beskrevet ved
(p, q) ↦→ (2q, p + q)
(hvor første koordinat betegner par af unger, anden koordinat voksne par).
Populationsudviklingen p˚a en m˚aned er alts˚a den lineære afbildning givet
ved matricen
0 2
A = .
1 1
F.eks. er udviklingen over 4 m˚aneder af populationen (0,1) beskrevet ved
0 2 2 6 10
↦→ ↦→ ↦→ ↦→ . . ..
1 1 3 5 11
Egenværdierne for matricen A er λ = 2 og λ = −1; et par tilhørende egenvektorer
er (1, 1) og (2, −1). Det er let at opstille en formel for udviklingen
af en populationsvektor, der er egenvektor for A, f.eks. for vektoren (1, 1):
1
1
↦→ 2 ·
1
1
↦→ 2 2 ·
1
1
⎤
↦→ 2 3 ·
⎦.
1
1
↦→ 2 4 ·
1
1
. . ..