Lineær Algebra Differentialligninger
Lineær Algebra Differentialligninger
Lineær Algebra Differentialligninger
Create successful ePaper yourself
Turn your PDF publications into a flip-book with our unique Google optimized e-Paper software.
38<br />
•<br />
•<br />
•<br />
hvor de sorte pletter angiver pivot’erne (og fjerde søjle er pivot-fri); og her er<br />
en tilsvarende skitse for ligningssystemet (19) (hvor tredie søjle er pivot-fri):<br />
•<br />
•<br />
Bemærkning. En række-echelon-form for en matrix er ikke entydigt bestemt:<br />
en given matrix kan i reglen bringes p˚a række-echelon form p˚a mange<br />
m˚ader, og med forskellige slut-resultater. (F.eks. kunne man have begyndt<br />
med at ombytte to af rækkerne.) Man kan dog vise, at der kun er én reduceret<br />
række-echelon form for en given matrix.<br />
Læg mærke til, at en kvadratisk matrix (lad os sige af størrelse n × n) p˚a<br />
reduceret række-echelon form enten er identitetsmatricen I n , eller har en eller<br />
flere nulrækker nederst. Vi opsummerer i følgende “enten-eller”-princip:<br />
En kvadratisk matrix kan ved rækkeoperationer<br />
• enten føres over i identitetsmatricen<br />
• eller føres over i en matrix med en nulrække<br />
nederst.<br />
(De to muligheder kan vises at udelukke hinanden.)<br />
Her er en anden oplysning, som kan hentes ud af løsnings-proceduren:<br />
•<br />
(22)<br />
Sætning 9 Et homogent lineært ligningssystem, hvor der er flere ubekendte<br />
end ligninger, har altid uendelig mange løsninger (og specielt har det altid en<br />
ikke-triviel løsning).<br />
Bevis. Der er flere ubekendte end der er ligninger. For koefficientmatricen<br />
betyder det: der er flere søjler end rækker. Bringes matricen p˚a en<br />
eller anden m˚ade p˚a række-echelon form, vil der være pivotfrie søjler, da der<br />
jo højst er én pivot i hver række. Alts˚a indg˚ar der parametre i beskrivelsen<br />
af ligningssystemet, der alts˚a har uendelig mange løsninger.<br />
Ud fra Sætningerne 7 og 8 kan man tilsvarende indse: et konsistent inhomogent<br />
lineært ligningssystem, hvor der er flere ubekendte end der er ligninger,<br />
har altid uendelig mange løsninger.