Lineær Algebra Differentialligninger

42
Angiv den fuldstændige løsning til ligningssystemet.
Opgave 9. 1) Vis at vektoren (2,7,6) kan skrives som linearkombination af vektorerne
(1,3,2) og (0,1,2).
2) Vis at ogs˚a vektoren (−1,0,4) kan skrives som linearkombination af vektorerne
(1,3,2) og (0,1,2).
3) Vis at span((1,3,2),(0,1,2)) = span((2,7,6),(−1,0,4)).
7 Rækkeoperations-matricer og inversion
De foreg˚aende afsnit har beskæftiget sig med algoritmiske aspekter ved løsning
af lineære ligningssystemer. Disse teknikker kan udbygges til egentlige programmer,
der kan implementeres p˚a computere. Dette har betydning for de
store lineære ligningssystemer, der forekommer i anvendelser. I det følgende
vil vi g˚a i retning af mere teori, mindre algoritmik: Vi vil formulere algoritmerne
matrix-teoretisk. Som biprodukt f˚ar vi en recept til at finde den
inverse til en invertibel matrix A.
Sætning 10 Lad A og B være kvadratiske matricer af samme størrelse. Hvis
A · B = I, s˚a er ogs˚a B · A = I.
Med andre ord, en højre invers til en kvadratisk matrix er automatisk
en to-sidet invers til den ! - En konsekvens er, at en venstre-invers til en
kvadratisk matrix D ogs˚a automatisk er en to-sidet invers til den. For hvis
C er venstre invers til D, s˚a er D højre invers til C, og ifølge sætningen er
D alts˚a en to-sidet invers til C,
D · C = I = C · D,
men disse ligninger kan ogs˚a læses: C er to-sidet invers til D.
Løsningsalgoritmen for lineære ligningssystemer byggede p˚a tre typer
række-operationer. Hver af dem kan opfattes som den operation, der best˚ar
i venstre-multiplikation med en passende “række-operations”-matrix. En
række-operationsmatrix er en matrix, der fremkommer ved at udføre en rækkeoperation
p˚a en identitetsmatrix. F.eks. er matricen
⎡
C = ⎣
1 0 0
−1.5 1 0
0 0 1
rækkeoperationsmatrix, idet den er fremkommet af I 3 ved at subtrahere 1.5
gange første række fra anden.
⎤
⎦