Lineær Algebra Differentialligninger

70
Projekt
Anvendelse af diagonalisering til at finde et lukket udtryk
for Fibonacci-tallene, udtrykt ved “det gyldne snit”
Lad φ være et positivt reelt tal, der opfylder φ 2 = φ + 1. 6
1) Vis at φ −1 = φ − 1
2) Vis at vektoren (1, φ) ∈ R 2 er en egenvektor for matricen
F =
0 1
1 1
(Fibonacci-matricen, som ogs˚a blev betragtet i Afsnit 2), med tilhørende
egenværdi φ.
3) Vis at vektoren (−φ, 1) ∈ R 2 er en egenvektor Fibonacci-matricen,
med tilhørende egenværdi −φ −1 (= 1 − φ).
4) Vi stiller de to egenvektorer fra 2) og 3) op som søjler i en matrix
B =
1 −φ
φ 1
Determinanten af denne matrix er 1 + φ 2 , der er strengt positivt tal. Alts˚a
er B en invertibel matrix, og da den best˚ar af egenvektorer for F, vil den
diagonalisere F, alts˚a B −1 · F · B = Λ, hvor
φ
Λ =
−φ −1
eller F = B · Λ · B −1 . – Det kræver lidt bogstavregning at finde den inverse
til B. Vis, ved at gøre prøve, at
B −1 = 1
1 + φ2
.
,
1 φ
−φ 1
5) Vi kan nu regne potenserne ud af Fibonacci matricen F, efter recepten
i (37), (talfaktoren 1/(1 + φ 2 ) fra B −1 bliver sat helt uden for, for overskuelighedens
skyld)
F q = 1
1 + φ 2
1 −φ
φ 1
q φ
·
.
(−1) q φ −q
·
1 φ
−φ 1
6 Der findes faktisk præcis ét s˚adant tal, nemlig “det gyldne snit” (omtalt i Afsnit 9);
det er ca. 1.62.
.