Lineær Algebra Differentialligninger

50
Hvis A betegner en (kvadratisk) matrix, s˚a skriver man ofte determinanten
af A som det(A) i stedet for |A|.
En hjælpe-definition inden definitionen af “determinant af en n × nmatrix”:
Hvis A er en n × n matrix, og i, j er (adressen p˚a) en indgang
i den, s˚a er den tilhørende minor matrix A ij den (n − 1) × (n − 1) matrix,
der fremkommer ved i A at slette den i’te række og den j’te søjle. Hvis f.eks.
n = 3, s˚a kan definitionen af determinant af en 3 ×3-matrix A med indgange
aij skrives
det(A) = a11det(A 11 ) − a12det(A 12 ) + a13det(A 13 ).
Helt tilsvarende defineres nu determinanten af en n × n matrix A, eller
“n’te ordens determinant”, ud fra (n − 1)’te ordens determinant:
det(A) = a11det(A 11 ) − a12det(A 12 ) + a13det(A 13 ) + . . . ± a1ndet(A 1n ), (23)
hvor fortegnet hver anden gang er + , hver anden gang −, med andre ord,
leddet a1jdet(A 1j ) har fortegnet (−1) 1+j .
Der er i definitionsformlen n led, der hver kræver udregning af en (n −
1) × (n − 1)-determinant. Man ser let ved induktion, at der alt i alt kommer
n! led i udregningen af en n × n-determinant. Allerede 4 × 4 determinanter
involverer s˚aledes 4! = 24 led, og er ikke velegnet til direkte udregning.
Determinanter er et teoretisk, mere end et praktisk, værktøj, n˚ar n ≥ 4.
Man siger, at determinanten af A i definitionsformlen (23) er udregnet ved
udvikling efter første række. Der gælder den sætning, at en determinant ogs˚a
kan udvikles efter en hvilken som helst anden række, eller efter en hvilken
som helst søjle. Udtrykt i formler: udvikling efter i’te række (i = 1, . . .,n)
det(A) =
n
(−1) i+j aijdet(A ),
ij
j=1
og udvikling efter j’te søjle (j = 1, . . ., n) tilsvarende
det(A) =
n
(−1) i+j aijdet(A ).
ij
i=1
Vi vil ikke bevise, at disse udviklinger giver samme værdi som definitionsformlen.
For praktisk udregning af determinanter vil man normalt vælge at
udvikle efter en række eller søjle, der indeholder mange 0’er ; fordi hvis aij
er 0, kan man jo spare sig at udregne den (n − 1) × (n − 1) determinant, der
indg˚ar i det p˚agældende led (−1) i+j aijdet(A ij ). P˚a denne m˚ade kan man let
indse, at determinanten af enhedsmatricen I n er 1: