Lineær Algebra Differentialligninger

16. LINEÆRT SYSTEM - N LIGNINGER 109
s˚a er enhver løsning af formen
y(x) = z(x) + z0(x)
hvor z(x) er en løsning til den homogene part af systemet.
En egenvektor giver en 1-parameter mængde af løsninger for det homogene
system.
Sætning 27A Betragt n × n-matricen A = (aij) og n-søjlen y(x) = (yi(x))
samt det homogene lineœre differentialligningssystem
dy
dx
= Ay
Hvis u er en egenvektor for A med egenvœrdi λ, s˚a er
løsninger, hvor C er arbitrær.
y(x) = Ce λx u
Sætning 28A Betragt n × n-matricen A = (aij) og n-søjlerne b = (bi),
y(x) = (yi(x)) samt det lineœre differentialligningssystem
dy
dx
= Ay + b
En konstant funktion y(x) = v er en løsning, hvis Av = −b. Hvis yderligere
u er en egenvektor for A med egenvœrdi λ, s˚a er
løsninger, hvor C er arbitrœr.
y(x) = Ce λx u + v
Sætning 29A Betragt n × n-matricen A = (aij) og n-søjlen y(x) = (yi(x))
samt det homogene lineœre differentialligningssystem
Hvis
dy
dx
= Ay
y0 = C1u1 + · · · + Cmum
er en linearkombination af egenvektorer for A, med egenvœrdier λ1, . . .,λm,
Auj = λjuj, s˚a er
y(x) = C1e λ1x u1 + · · · + Cme λmx um