Lineær Algebra Differentialligninger

32
6 Løsningsteknik
Betragt
2x1 −2x2 −4x3 −6x4 = −16
3x1 −2x2 −4x3 −3x4 = −20
−2x1 +5x2 +12x3 +21x4 = 34
. (12)
Med henblik p˚a at eliminere x1 fra 2. ligning, adderer vi −1.5 gange første
ligning til anden (dvs. vi subtraherer 1.5 gange første ligning fra anden), og
der fremkommer det ækvivalente 4 ligningssystem
2x1 −2x2 −4x3 −6x4 = −16
x2 +2x3 +6x4 = 4
−2x1 +5x2 +12x3 +21x4 = 34,
, (13)
og med henblik p˚a at eliminere x1 fra tredie ligning adderer vi første ligning
til tredie, hvorved vi f˚ar
2x1 −2x2 −4x3 −6x4 = −16
x2 +2x3 +6x4 = 4
3x2 +8x3 +15x4 = 18
. (14)
Nu er x1 elimineret fra alle ligninger undtagen fra den første. Vi tager
fat p˚a at eliminere x2 fra alle ligninger undtagen fra den første og anden;
vi tager alts˚a fat p˚a at eliminere x2 fra tredie ligning. Det gøres ved, i det
ligningssystem (14) vi nu er n˚aet frem til, at subtrahere 3 gange anden ligning
fra tredie, hvorved vi f˚ar
2x1 −2x2 −4x3 −6x4 = −16
x2 +2x3 +6x4 = 4
2x3 −3x4 = 6
. (15)
Man kan nu f˚a en parameterfremstilling for løsningsmængden, med x4 som
parameter, “ved baglæns substitution” gennem ligningssystemet (15), idet vi
fra sidste ligning i (15) konkluderer x3 = 3 + 3
2 x4, som indsat i næstsidste
ligning giver os en ligning, der kun indeholder x2 og x4 og alts˚a tillader os
at udtrykke x2 ved x4; og endelig indsætter vi de fundne udtryk for x2 og x3
(udtrykt ved x4) i første ligning, hvorved der fremkommer en ligning, som kun
indeholder x1 og x4, og som tillader os at udtrykke x1 ved x4. Regningerne
er, mere detaljeret, som følger. Vi har allerede observeret
x3 = 3 + 3
2 x4,
4 “ækvivalent” betyder i denne forbindelse, at de to systemer har samme
løsningsmængde.