Lineær Algebra Differentialligninger
Lineær Algebra Differentialligninger
Lineær Algebra Differentialligninger
You also want an ePaper? Increase the reach of your titles
YUMPU automatically turns print PDFs into web optimized ePapers that Google loves.
14. LINEÆR DIFFERENTIALLIGNING 93<br />
Læg mærke til den efterfølgende metode, som med fordel kan bruges i mange<br />
populære opgavetyper.<br />
Bemærkning 1.[Metode]<br />
1. Bestem en stamfunktion<br />
dy<br />
dx<br />
= a(x)y + b(x)<br />
<br />
A(x) =<br />
2. Bestem en stamfunktion<br />
<br />
B(x) =<br />
3. Skriv løsningen<br />
a(x) dx<br />
e −A(x) b(x) dx<br />
y(x) = Ce A(x) + B(x)e A(x)<br />
4. Konstanten C fastlægges ved indsættelse i løsningen fra 3.<br />
Metoden giver alts˚a den fuldstændige løsning samt eventuelt en partikulær<br />
løsning der tilfredsstiller yderligere betingelser.<br />
To repræsentative opgaver af en ofte stillet type løses ved brug af resultater<br />
og metoder fra dette afsnit.<br />
Opgave 1.[Opgave 7, Matematik Alfa 1, August 2002] Angiv den fuldstændige<br />
løsning til differentialligningen<br />
y ′ + 2y = xe −2x + 3<br />
Angiv endvidere den partikulære løsning y(x), der opfylder y(0) = 2.<br />
Løsning. Skriv ligningen p˚a formen<br />
og aflæs<br />
Beregn<br />
dy<br />
dx = −2y + (xe−2x + 3)<br />
a(x) = −2, b(x) = xe −2x + 3<br />
<br />
A(x) = a(x) dx = −2 dx = −2x<br />
<br />
B(x) = e −A(x) <br />
b(x) dx =<br />
= 1<br />
2 x2 + 3<br />
2 e2x<br />
e 2x (xe −2x + 3)dx
Change language