Lineær Algebra Differentialligninger
Lineær Algebra Differentialligninger
Lineær Algebra Differentialligninger
Create successful ePaper yourself
Turn your PDF publications into a flip-book with our unique Google optimized e-Paper software.
6. LØSNINGSTEKNIK 37<br />
lutter 0’er. For de lineære ligningssystemer, man kommer til at løse for at<br />
finde egenvektorer, vil der endda nødvendigvis komme s˚adanne nulrækker, se<br />
§9.<br />
Et ligningssystem, hvis koefficientmatrix indeholder en nulrække, lad os<br />
sige den i’te, og hvor der p˚a højre side, i samme række, st˚ar et tal bi = 0,<br />
er klart inkonsistent. Thi den ligning i ligningssystemet, der svarer til den<br />
p˚agældende række, er<br />
0x1 + . . . + 0xn = bi,<br />
og den har ingen løsning. Ved rækkereduktion af et inkonsistent lineært<br />
ligningssystem vil der altid opst˚a en s˚adan nulrække med et nulforskelligt bi<br />
p˚a højre side.<br />
Omvendt, hvis en m × n matrix A ved rækkeoperationer kan føres over i<br />
en matrix A ′ med en nulrække nederst, s˚a kan man finde en højre side b s˚a at<br />
A·x = b er inkonsistent. Thi A ′ ·x = b ′ er inkonsistent hvis vi vælger b ′ til at<br />
have n’te koordinat = 0, som vi lige har set. Hvis vi udfører rækkeoperationer<br />
p˚a dette system A ′ · x = b ′ , vil det stadig være inkonsistent. Men hvis A kan<br />
føres over i A ′ , s˚a kan A ′ ogs˚a føres “tilbage” over i A, og ligningssystemet<br />
A ′ · x = b ′ (som var inkonsistent) føres s˚a ved disse operationer over i et<br />
ligningssystem af form A · x = b. Da A ′ · x = b ′ og A · x = b er ækvivalente,<br />
og A ′ · x = b ′ er inkonsistent, er ogs˚a A · x = b inkonsistent.<br />
Vi præciserer nu begrebet “række-echelon form”: en matrix siges at være<br />
p˚a række-echelon form hvis<br />
• eventuelle nulrækker st˚ar nederst<br />
• for de rækker, der ikke er nulrækker, rykker pivot’en til højre n˚ar<br />
man g˚ar nedad<br />
Matricen siges at være p˚a reduceret række-echelon form hvis yderligere<br />
• alle pivot’er er 1<br />
• ovenover (og nedenunder) hver pivot st˚ar lutter 0’er.<br />
Ved hjælp af rækkeoperationer kan et ligningssystem omdannes til et,<br />
hvor koefficientmatricen er p˚a række-echelon form, eller endda, om ønsket,<br />
p˚a reduceret række-echelon form.<br />
At en matrix er p˚a række-echelon form betyder, billedlig talt, at den<br />
ser ud som en trappe, med 0’er under trappen, og nul-forskellige elementer<br />
(pivot’erne) i “trappehjørnerne”. Her er en skitse, der svarer til (koefficientmatricen<br />
for) ligningssystemet (15)