Lineær Algebra Differentialligninger

3. LINEÆRE FUNKTIONER 17
et fast tal blandt tallene 1, . . ., n er e j defineret som det n tupel, der har et
1-tal p˚a j’te plads og 0’er ellers. F.eks. er for n = 3 de tre enhedsvektorer
i R 3 givet som e 1 = (1, 0, 0); e 2 = (0, 1, 0) og e 3 = (0, 0, 1) (ogs˚a kaldet
henholdsvis i,j og k, jvf. [S] s. 657; men den type notation er selvsagt ikke
egnet for generelle n). – Bemærk, at A · e j er lig j’te søjle i A.
Bevis for Sætning 5. Vi tager den matrix A, der som sin j’te søjle har
f(e j) ∈ R m (j = 1, . . ., n). Her betegner e j den j’te enhedsvektor i R n
skrevet op som søjlematrix. Vi skal nu vise, at for vilk˚arlig x gælder
f(x) = A · x, (4)
(i udtrykket til højre er det underforst˚aet, at x er skrevet op som søjlematrix).
Hvis x er søjlematricen med indgange (x1, . . ., xn), s˚a kan x skrives som
linearkombination af e j’erne p˚a følgende m˚ade 2 :
x = x1e 1 + x2e 2 + . . . + xne n,
og fordi f var antaget at være lineær, alts˚a ombyttelig med linearkombinationsdannelse,
har vi
f(x) = f(x1e 1 + x2e 2 + . . . + xne n) = x1f(e 1) + x2f(e 2) + . . . + xnf(e n).
Men f(ej) er j’te søjle i A. Udtrykket her er alts˚a linearkombination af A’s
søjler med koefficienter x1, x2, . . .,xn, alts˚a netop, ifølge Sætning 2,
⎡ ⎤
A ·
⎢
⎣
x1
x2
. . .
xn
To forskellige m × n matricer giver anledning til forskellige lineære afbildninger.
For hvis A = B, s˚a er der et par tilsvarende søjler i A og B, der er
forskellige, f.eks. j’te søjle. Hvis de lineære afbildninger, der hører til A og
B kaldes henholdsvis f og g, s˚a gælder f(e j) = g(e j), de er jo henholdsvis
j’te søjle i A og j’te søjle i B.
Dermed er sætningen vist.
Der er alts˚a en bijektiv korrespondance mellem mængden af lineære afbildninger
R n → R m , p˚a den ene side, og mængden af m × n matricer p˚a
den anden. Den matrix A, der svarer til en lineær afbildning f : R n → R m ,
vil vi betegne Matr(f). Ligningen (4) kan alts˚a skrives
2 jvf. Eks. 7 i §1, for tilfældet n = 3
⎥
⎦ .
f(u) = Matr(f) · u, (5)