Lineær Algebra Differentialligninger
Lineær Algebra Differentialligninger
Lineær Algebra Differentialligninger
Create successful ePaper yourself
Turn your PDF publications into a flip-book with our unique Google optimized e-Paper software.
92<br />
Eksempel 2. Differentialigningen<br />
dy<br />
dx<br />
= 2xy<br />
er en homogen lineær ligning. Den fuldstændige løsning er givet ved<br />
<br />
a(x) = 2x, A(x) = 2xdx = x 2<br />
hvor C er arbitrær.<br />
y(x) = Ce x2<br />
P˚a snedig vis reduceres den inhomogene ligning til et stamfunktionsproblem.<br />
Der opn˚as en færdig formel for den fuldstændige løsning. Det er hovedresultatet<br />
i dette afsnit. Efterfølgende samles fremgangsm˚aden i en klar metode.<br />
Sætning 25 Den generelle lineœre ligning<br />
har fuldstœndig løsning<br />
hvor C er arbitrœr og<br />
<br />
A(x) =<br />
Bevis.<br />
opfylder ligningen<br />
som integreres til<br />
og forlænges til<br />
dy<br />
= a(x)y + b(x)<br />
dx<br />
y(x) = Ce A(x) + B(x)e A(x)<br />
<br />
a(x) dx, B(x) =<br />
z(x) = e −A(x) y(x)<br />
dz<br />
dx = e−A(x) b(x)<br />
z(x) = C + B(x)<br />
y(x) = Ce A(x) + B(x)e A(x)<br />
e −A(x) b(x) dx