Lineær Algebra Differentialligninger
Lineær Algebra Differentialligninger
Lineær Algebra Differentialligninger
Create successful ePaper yourself
Turn your PDF publications into a flip-book with our unique Google optimized e-Paper software.
66<br />
Sætning 16 Givet en n × n matrix A. Antag, at b 1, . . ., b n er egentlige<br />
egenvektorer for A med tilhørende egenværdier λ1, . . .,λn. Stilles b 1, . . ., b n<br />
op som søjler i en matrix B, s˚a gælder<br />
A · B = B · Λ, (36)<br />
hvor Λ er den diagonalmatrix, hvis diagonalindgange er λ1, . . ., λn. Hvis B<br />
er invertibel, vil den alts˚a diagonalisere A.<br />
Omvendt, hvis (36) gælder for en matrix B (hvis søjler er egentlige vektorer),<br />
og en diagonalmatrix Λ, s˚a er søjlerne i B egenvektorer for A, med<br />
tilhørende egenværdier de respektive diagonalindgange i Λ.<br />
Bevis. For at vise (36), er det nok at vise (for hvert i = 1, . . ., n) at den<br />
i’te søjle p˚a venstre og højre side stemmer overens. Vi f˚ar den i’te søjle ved<br />
at højre-multiplicere med søjlematricen e i, ifølge (30). Men vi har dels<br />
A · B · e i = A · b i = λi · b i,<br />
hvor vi har brugt, at b i var en egenvektor for A med egenværdi λi; og dels<br />
har vi<br />
B · Λ · e i = B · λi · e i = λi · B · e i = λi · b i.<br />
Alts˚a stemmer i’te søjle i A·B overens med i’te søjle i B ·Λ, og da det gælder<br />
for vilk˚arligt i = 1, . . .,n, er A · B = B · Λ. — Beviset for Sætningens sidste<br />
(omvendte) udsagn overlades til læseren.<br />
At finde en invertibel matrix B, hvis søjler er egenvektorer for en matrix A, er<br />
ensbetydende med at finde en basis for vektorrummet R n best˚aende af egenvektorer<br />
for A. (Basis-begrebet indføres i videreg˚aende lineær algebra.) For visse typer<br />
matricer har man sætninger, der sikrer, at dette kan lade sig gøre; det gælder<br />
f.eks. hvis A er en symmetrisk matrix, dvs. en matrix, der er “symmetrisk omkring<br />
diagonalen”, dvs den ij’te indgang stemmer overens med den ji’te indgang.<br />
Blandt de mange anvendelser af diagonalisering af kvadratiske matricer<br />
nævner vi udregning af højere potenser A q af en kvadratisk matrix A. Dette<br />
kan selvfølgelig altid lade sig gøre “ved h˚andkraft”, men det “blir .. mye<br />
regning og liten forst˚aelse” (Gulliksen), jvf. de højere potenser af “Fibonacci’s<br />
matrix” fra §2. Hvis derimod A kan diagonaliseres, som ovenfor, A = B · Λ ·<br />
B −1 , s˚a er<br />
A · A = (B · Λ · B −1 ) · (B · Λ · B −1 ) = B · Λ 2 · B −1 ,<br />
idet man hæver parenteserne og lader B −1 og B i midten hæve hinanden; og<br />
tilsvarende<br />
A · A · A = (B · Λ · B −1 ) · (B · Λ · B −1 ) · (B · Λ · B −1 )