Lineær Algebra Differentialligninger

11. SKALARPRODUKT I R N 73
s˚a er det for n ≥ 4 en definitions-sag: vi har jo ikke p˚a forh˚and et begreb om
“længde” |a| af en vektor a i R n . - Grund-egenskaber opskrives her:
1. a • a = |a| 2 (definitionsmæssigt)
2. a • b = b • a
3. a • (b + c) = a • b + a • c og (a + b) • c = a • c + b • c
4. (ca) • b = c(a • b) = a • (cb)
5. 0 • a = 0 = a • 0.
– Alt i alt: man regner med prikprodukt omtrent som om der var tale om
almindelig multiplikation af tal.
Der gælder a • a ≥ 0, s˚a at vi som nævnt kan definere
|a| := √ a • a =
a 2 1 + . . . + a 2 n
(“længden er lig kvadratroden af kvadratsummen af koordinaterne”). Læg
mærke til, at |a| kun er 0 hvis a er nulvektoren.
Man skriver ogs˚a tit ||a|| i stedet for |a| for længden af en vektor i Rn ;
alts˚a
||a|| = |a| = a2 1 + a2 2 . . . + a2 n.
Vi bruger begge notationer i flæng.
I og med at man taler om længde af vektorer i R n , kommer der geometriske
ord ind i billedet, f.eks. taler man om afstanden mellem to vektorer a og b:
det er pr. definition længden af b − a. Ogs˚a vinkelrethed (ortogonalitet) kan
defineres i termer af prikproduktet: a ⊥ b betyder pr. definition at a • b = 0.
“Længde” for vektorer i R n har egenskaben
for ifølge Grundegenskab 4 gælder
s˚a at
λu = |λ|u, (38)
(λu) • (λu) = λ 2 (u • u),
λu = (λu) • (λu) = λ 2 (u • u) = √ λ 2√ u • u,
og resultatet følger nu af definitionen p˚a “længde”, og af √ λ 2 = |λ|.
Anvendes denne egenskab specielt for λ = −1, f˚as
− u = u,