Lineær Algebra Differentialligninger
Lineær Algebra Differentialligninger
Lineær Algebra Differentialligninger
Create successful ePaper yourself
Turn your PDF publications into a flip-book with our unique Google optimized e-Paper software.
108<br />
som indsat opfylder ligningerne. Løsningsrummet, den fuldstændige løsning<br />
er angivelsen af alle løsninger.<br />
For n × n-matricen A = (aij), koefficientmatricen, og n-søjlerne b = (bi),<br />
y(x) = (yi(x)) skrives det lineære differentialligningssystem<br />
En løsning skrives<br />
dy<br />
dx<br />
= Ay + b<br />
⎛ ⎞<br />
y1(x)<br />
⎜ ⎟<br />
x ↦→ y(x) = ⎝ . ⎠<br />
yn(x)<br />
Bemærkning 1. Givet n × n-matricen A = (aij) og n-søjlerne b = (bi),<br />
y(x) = (yi(x)) kaldes systemet<br />
dy<br />
dx<br />
= Ay<br />
homogent og er den homogene part af det inhomogene, b = 0, system<br />
dy<br />
dx<br />
= Ay + b<br />
I det homogene tilfælde er linearkombinationer af løsninger igen løsninger.<br />
Det ses, at løsningen af det inhomogene problem reduceres til det tilsvarende<br />
homogene problem samt angivelse af bare én partikulær løsning.<br />
Sætning 26A Betragt n ×n-matricen A = (aij) og n-søjlen y(x) = (yi(x)).<br />
Hvis z1(x),z2(x) er løsninger til det homogene lineœre differentialligningssystem<br />
dy<br />
= Ay<br />
dx<br />
s˚a er enhver linearkombination<br />
z(x) = C1z1(x) + C2z2(x)<br />
ogs˚a en løsning.<br />
Betragt yderligere n-søjlen b. Hvis z0(x) er en løsning til det inhomogene<br />
lineœre differentialligningssystem<br />
dy<br />
dx<br />
= Ay + b