Lineær Algebra Differentialligninger

72
Opgave 2. Diagonaliser matricen
A =
7 2
−4 1
(Der ønskes angivet B, B −1 og Λ s˚a at B −1 · A · B = Λ.)
Opgave 3. Det oplyses, at egenværdierne for følgende matrix A er 5 og 1, og at
der ikke er andre egenværdier. Undersøg om matricen kan diagonaliseres.
⎡
A = ⎣
.
2 2 −1
1 3 −1
−1 −2 2
Opgave 4. Betragt matricen A fra Opgave 3. Angiv en diagonalmatrix Λ s˚a at A
kan diagonaliseres til Λ, dvs. s˚a at der findes en invertibel matrix B s˚a at
B −1 · A · B = Λ.
Opgave 5. Lad C betegne den 3 × 3 matrix, der har 5-taller i diagonalen, og 0’er
ellers. 1) Vis at for vilk˚arlig 3 × 3 matrix B gælder B · C = C · B. 2) Lad A være
en 3 × 3 matrix, hvis eneste egenværdi er 5. Antag at A kan diagonaliseres. Vis
at A = C.
Opgave 6. Beregn (uden brug af lommeregner)
11 6
−18 −10
11 Skalarprodukt i R n
100
.
Hvis a = (a1, . . .,an) og b = (b1, . . .,bn) er to vektorer i R n , kan man danne
deres “prikprodukt”, nemlig produktsummen af deres koordinater
⎤
⎦ .
a • b := a1b1 + a2b2 + . . . + anbn.
I tilfældet n = 2 og n = 3 er der geometrisk betydning af dette udtryk. Hvis
nemlig den geometriske plan identificeres med R 2 via et sædvanligt retvinklet
koordinatsystem, s˚a kan a • b beskrives rent geometrisk som: “længden
af a gange længden af b gange cosinus til den mellemliggende vinkel”, og
tilsvarende for R 3 . Denne sammenhæng er uddybet i [S] s. 661-665. Prikprodukt
kaldes ogs˚a skalarprodukt, fordi a • b er en skalar (et tal).
Fem grund-egenskaber ved prikproduktet er sammenfattet i en indrammet
tekst s. 664 i [S]; disse egenskaber gælder ogs˚a for prikproduktet i R n , men
hvad ang˚ar “egenskab 1”,
a • a = |a| 2