Lineær Algebra Differentialligninger

7. RÆKKEOPERATIONS-MATRICER OG INVERSION 45
efterfulgt af
2 1 1
5 3 1
2 1 1
0 0.5 −2.5 1
der giver 2 0 6 −2
0 0.5 −2.5 1
✛ −2.5
✛
−2
og til sidst udføres rækkeoperationerne “multiplicer første række med 0.5”
og “multiplicer anden række med 2, det giver os
1 0 3 −1
,
0 1 −5 2
til venstre for stregen st˚ar nu I 2 , og til højre for stregen st˚ar A −1 . – Udregningen
giver iøvrigt, at A −1 er et produkt af fire rækkeoperationsmatricer
(læs fra højre):
1 0
0 2
0.5 0
0 1
1 −2
0 1
,
1 0
−2.5 1
Som nævnt er det kun kvadratiske matricer, der kan have inverse matricer.
Hvis man har et kvadratisk lineært ligningssystem A · x = b, og man har
brug for at finde en løsning for alle mulige højresider b, har man brug for
den inverse til A. Hvis nemlig A har B som invers matrix, s˚a gælder: for
vilk˚arlig b er B · b en løsning til A · x = b. For,
A · (B · b) = (A · B) · b = I · b = b,
fordi A · B = I og I · b = b. – Dette princip er nyttigt f.eks. i forbindelse
med besvarelse af “varmemester-projektet” nedenfor.
Opgaver
Opgave 1. Undersøg om hver af følgende matricer har en invers:
2 3 2 3
og
−1 1 −6 −9
.