Lineær Algebra Differentialligninger

10. DIAGONALISERING 69
dobbeltrod (her: tallet 3) i et karakteristisk polynomium, mens det tilhørende
egenrum kun har dimension 1. Tilsvarende for højere “multipliciteter”. (Dimensionsbegrebet
behandles mere fyldestgørende i videreg˚aende lineær algebra.)
En tolkning af den formelle konstruktion, der til A knytter B −1 ·A·B: den nye
matrix B −1 ·A·B er afbildningen givet ved A, men udtrykt i et nyt koordinatsystem
(en ny basis), nemlig det, der er giver ved B’s søjler. Dette behandles i videreg˚ande
lineær algebra.
Eksempel 4. Fortsættelse af den “modificerede Fibonacci-model” (Eks. 8 i
§9). Vi fandt, at matricen
0 2
A =
1 1
har egenværdier λ = 2 og λ = −1, tilhørende egenvektorer er henholdsvis
(1, 1) og (2, −1). De opstilles som søjler i en matrix
B =
1 2
1 −1
hvis determinant er −3, s˚a at B alts˚a er invertibel (Sætning 12). Ifølge
Sætning 36 gælder A = B ·Λ·B −1 , hvor Λ er diagonalmatricen med indgange
2 og −1. Eksplicit, idet vi finder den inverse til B efter metoden i §7,
0 2
1 1
=
1 2
1 −1
2
·
I analogi med Eksempel 2 har vi derfor
n
n
0 2 1 2 2
= ·
1 1 1 −1
−1
,
·
(−1) n
1/3 2/3
1/3 −1/3
·
.
1/3 2/3
1/3 −1/3
Denne formel indeholder resultatet fra Eksempel 8 i §9.
Vi har f.eks. at A 4 = B · Λ 4 · B −1 ; Λ 4 er diagonalmatricen med indgange
2 4 og (−1) 4 , alts˚a 16 og 1. Vi har alts˚a
A 4 =
1 2
1 −1
16
·
der udregnes til 6 10
5 11
1
·
.
1/3 2/3
1/3 −1/3
,
.