Lineær Algebra Differentialligninger

18. STABILITET 115
Eksempel 1.[Logistisk ligning] Den logistiske ligning, k, K > 0,
har ligevægts løsninger
og
dP
dt
P
= kP(1 − ) = F(P)
K
P(t) = 0, P(t) = K
F ′ (P) = − 2k
P + k
K
F ′ (0) = k > 0: P = 0 er en ustabil ligevægt.
F ′ (K) = −k: P = K er en stabil ligevægt.
P ′
Eksempel 1. Fasediagram
Eksempel 2.[Lotka-Volterra] For Lotka-Volterra systemet,
a, b, k, r > 0,
er der to ligevægtsløsninger
dR
= kR − aRW
dt
dW
= −rW + bRW
dt
(R, W) = (0, 0), (R, W) = (r/b, k/a)
I (R, W) = (0, 0) er den lineære approximation
dR
= kR
dt
dW
= −rW
dt
P