Lineær Algebra Differentialligninger

13. ANDRE SÆTNINGER OM SKALARPRODUKT 87
Opgave A. 1) Vis at (u,v) = (λ1u,λ2v) (hvor λ1 og λ2 er reelle tal > 0).
2) Vis at (u,v) = 0 eller = π præcis hvis u og v er proportionale. 3) Vis at
(u,v) = (v,u).
Sætning 21 (Trekantsuligheden) For to vilk˚arlige vektorer u og v i R n gælder
|u + v| ≤ |u| + |v|.
Navnet “trekantsuligheden” kommer af, at i geometrisk vektorregning kan
sætningen formuleres: en side i en trekant er højst s˚a stor som summen af de
to andre sider; hvis to af siderne er u og v, s˚a er den tredie side jo u + v.
Bevis. Da begge sider i den ønskede ulighed er ikke-negative tal, er det nok
at vise uligheden med begge sider kvadreret:
Vi regner p˚a venstre side, som jo er
|u + v| 2 ≤ (|u| + |v|) 2 .
(u + v) • (u + v) = u • u + v • v + 2u • v (45)
ifølge regnereglerne (grundegenskaberne) ved •. Højre side af den ønskede ulighed
er
|u| 2 + |v| 2 + 2|u||v|. (46)
Der er led, der forekommer b˚ade i (45) og (46), og fjerner vi dem, st˚ar vi tilbage
med problemet at vise at
2u • v ≤ 2|u||v|.
Men det følger af Cauchy-Schwarz uligheden.
2. ordens partielle afledede, og ekstremumsbestemmelse
Lad f(x1, . . .,xn) være en (tilstrækkelig differentiabel) funktion f : R n →
R. En nødvendig betingelse for at den har et lokalt ekstremum i et indre
punkt P af sit definitionsomr˚ade er, at ∇P(f) = 0, hvor
∇P(f) = ( ∂f
∂x1
, . . ., ∂f
),
∂xn
hvor alle de partielle afledede skal evalueres i P. Hvis P er et punkt, hvor
∇P(f) = 0, er det af interesse at betragte den symmetriske n × n matrix,
H P (f) (“Hesse-matricen”) hvis ij’te indgang er
∂2f (P);
∂xi∂xj