Lineær Algebra Differentialligninger

9. EGENVÆRDIER OG EGENVEKTORER 61
I formel:
A n ·
1
1
= 2 n ·
Tilsvarende for “populationsvektoren” (2, −1) (det er selvfølgelig en matematisk
abstraktion, da man ikke kan have negative populationer !)
I formel
2
−1
↦→ (−1) ·
A n
·
2
−1
2
−1
1
1
.
↦→ (−1) 2
·
= (−1) n
·
2
−1
2
−1
.
. . ..
Pointen er nu, at hvis vi kan skrive en populationsvektor som linearkombination
af egenvektorerne (1, 1) og (2, −1), s˚a kan vi beskrive denne
populations udvikling gennem tid som den tilsvarende linearkombination af
de to ovenfor beskrevne populationsudviklinger. (Afbildningen givet ved matricen
A er jo lineær og derfor ombyttelig med linearkombinationer.) Lad os
f.eks. betragte populationen (0, 1) (ingen unger, ét par voksne). Ved at løse
et lineært ligningssystem finder vi, at koefficienterne, der skal bruges hertil,
er 2/3 og -1/3; alts˚a
S˚a er
A n ·
0
1
= 2
3 ·
1
1
+ −1
3 ·
2
−1
.
0
= A
1
n · ( 2
3 ·
1
+
1
−1
3 ·
2
−1
= 2
3 An
1
· +
1
−1
3 An
2
·
−1
(fordi A n repræsenterer en lineær afbildning)
= 2
3 2n
1
·
1
+ −1
3 (−1)n
·
Dette er et lukket udtryk for populationen efter n m˚aneder; sammenlign med
de udregnede værdier ovenfor for n = 1, . . .,4.
Opgave C. Udregn populationen efter 6 m˚aneder uden at udregne populationen
over 5 m˚aneder.
Egenværdi/egenvektor problemstillingen giver mening i større generalitet end
koordinatvektorrum, f.eks. for geometriske vektorrum eller funktionsvektorrum
2
−1
.
)