Lineær Algebra Differentialligninger
Lineær Algebra Differentialligninger
Lineær Algebra Differentialligninger
Create successful ePaper yourself
Turn your PDF publications into a flip-book with our unique Google optimized e-Paper software.
6. LØSNINGSTEKNIK 39<br />
Eksempel 1. Vi søger samtlige 3 × 2 matricer B, der opfylder A · B = I ,<br />
2<br />
hvor A er 2 × 3-matricen<br />
<br />
2 1 −2<br />
5 3 −4<br />
(med andre ord, vi søger samtlige højre-inverse matricer til A). Betegnes de<br />
3×2 = 6 indgange i B med x1, . . ., x6 , som angivet i nedenst˚aende opstilling,<br />
er problemet alts˚a at bestemme x1, . . ., x6, s˚a at<br />
2 1 −2<br />
5 3 −4<br />
⎡<br />
<br />
· ⎣<br />
x1 x4<br />
x2 x5<br />
x3 x6<br />
⎤<br />
⎦ =<br />
1 0<br />
0 1<br />
Dette er opfyldt hvis hver af de fire indgange i 2 × 2 matricen A ·B stemmer<br />
overens med de tilsvarende indgange i I 2 . Dette giver fire ligninger med seks<br />
ubekendte: en ligning for hver af de fire indgange i den ønskede produktmatrix,<br />
en ubekendt for hver af de seks indgange i den søgte matrix B :<br />
2x1 +x2 −2x3 = 1<br />
5x1 +3x2 −4x3 = 0<br />
2x4 +x5 −2x6 = 0<br />
5x4 +3x5 −4x6 = 1<br />
løsningsmængden til dette ligningssystem har, som vi skal se, de 6-4=2 frihedsgrader,<br />
som “tommelfingerreglen” lader os forvente.<br />
Eksempel 2. Vi beskriver den fuldstændige løsning til den opgave, vi stillede<br />
os i Eksempel 1; en parameterfremstilling for løsningsmængden er<br />
(x1, x2, x3, x4, x5, x6) =<br />
(3, −5, 0, −1, 2, 0) + s · (2, −2, 1, 0, 0, 0) + t · (0, 0, 0, 2, −2, 1).<br />
Her er s og t parametre, og kan alts˚a vælges frit. Vælger vi f.eks s = 1 og<br />
t = 1<br />
2 f˚as<br />
(3, −5, 0, −1, 2, 0) + (2, −2, 1, 0, 0, 0) + (0, 0, 0, 1, −1, 1<br />
) =<br />
2<br />
= (5, −7, 1, 0, 1, 1<br />
2 ).<br />
Vi indsætter dette 6-tupel som x1, . . .,x6 i matrixligningen, hvilket giver<br />
2 1 −2<br />
5 3 −4<br />
⎡<br />
<br />
· ⎣<br />
5 0<br />
−7 1<br />
1 1<br />
2<br />
⎤<br />
⎦ =<br />
1 0<br />
0 1<br />
<br />
<br />
,<br />
;