Lineær Algebra Differentialligninger

104
er ifølge Sætning 31
Skrevet ud
y(x) = C1e −x
−1
+ C2e
1
3x
1
+
1
y1(x) = −C1e −x + C2e 3x + 2
y2(x) = C1e −x + C2e 3x + 3
2
3
hvor C1, C2 er arbitrære konstanter.
Et hastighedsfelt giver en grafisk fornemmelse for løsningskurvernes x ↦→
y(x) forløb.
y2
y1
Opgave 2 . Hastighedsfelt
I det ikke-diagonaliserbare tilfælde kan man lidt mere besværligt ogs˚a finde
løsningerne.
Eksempel 2.[Ingen reelle egenværdier] Betragt det lineære system
Koefficientmatricen
y ′ 1 = y1 − y2
y ′ 2 = y1 + y2
A =
1 −1
1 1
har karakteristisk polynomium λ2 − 2λ + 2 med diskriminant −4 og dermed
ingen reelle egenværdier.
Ved brug af komplekse tal findes løsningen
y(x) = C1e x
cosx
+ C2e
sin x
x
− sin x
cosx
Skrevet ud
y1(x) = C1e x cos x − C2e x sin x
y2(x) = C1e x sin x + C2e x cosx