Lineær Algebra Differentialligninger

More documents

Recommendations

Info

40 som man kan kontrollere passer. Andre valg af parameterværdierne s og t ville ogs˚a give løsninger til matrixligningen i Eksempel 1. Eksempel 3. De to matricer fra Eksempel 2 kan ogs˚a multipliceres sammen i modsat rækkefølge. Det ses ved udregning, at ⎡ ⎣ 5 0 −7 1 1 1 2 ⎤ ⎦ · 2 1 −2 5 3 −4 Eksempel 4. Løs matrixligningen 2 1 5 3 · x11 x12 x21 x22 ⎡ = ⎣ = 10 5 −10 −9 −4 10 4.5 2.5 −4 1 0 0 1 2 1 (I terminologien fra §4 er det alts˚a en højre invers matrix til matricen 5 3 der søges.) Denne ligning ses ved at multiplicere matricerne ud, og sammenligne dem plads for plads, at være ensbetydende med følgende lineære ligningssystem p˚a fire ligninger med fire ubekendte x11, x12, x21, x22: . 2x11 + x21 = 1 5x11 + 3x21 = 0 2x12 + x22 = 0 5x12 + 3x22 = 1 Denne metode til at finde en invers matrix p˚a, er ikke særlig praktisk; en mere effektiv metode demonstreres, for vilk˚arlige m × m matricer, i følgende §7. Det er iøvrigt en opgave, man i dag gerne lægger i “hænderne” p˚a en computer, forsynet med matematik-programpakker som Maple, Mathematica ell.l. Det anbefales ved løsning af lineære ligningssystemer altid at skrive hele systemet op hver gang man har lavet en eller flere rækkeoperationer p˚a det. - Iøvrigt er et klart, at man kan spare at skrive xi’erne, s˚avel som plus- og lighedstegnene. Betragt f.eks. et ligningssystem p˚a m ligninger med n ubekendte. Man opererer s˚a faktisk med en m × (n + 1)-matrix, hvor den tilføjede søjle (den sidste) er ligningssystemets højre side. Man adskiller den fra den øvrige matrix ved en lodret streg. Dens indgange deltager i rækkeoperationerne. Men hvilke rækkeoperationer, der skal foretages, dirigeres udelukkende af hvad der st˚ar til venstre for delestregen. For homogene lineære ligningssystemer kan man spare højresiden, der jo er 0-vektoren, og vedbliver at være det under alle rækkeoperationer. . ⎤ ⎦. ,
6. LØSNINGSTEKNIK 41 Opgaver Opgave 1. Angiv den fuldstændige løsning til ligningssystemet x +3y +2z = 4 4x +5y +2z = 6 Opgave 2. Angiv den fuldstændige løsning til ligningssystemet x +3y +2z = 4 4x +5y +2z = 6 2x +y +3z = 1 Opgave 3. Angiv den fuldstændige løsning til ligningssystemet 4x +5y +2z = 6 2x +y +3z = 1 Opgave 4. Bestem den fuldstændige løsning til det homogene lineære ligningssystem x2 −4x3 = 0 2x1 −3x2 +2x3 = 0 . 5x1 −8x2 +7x3 = 0 Vis, at hvis højre-siden i dette ligningssystem erstattes af (16,2,2), s˚a er systemet inkonsistent. Opgave 5. Find en funktion f(x) af form ax 2 + bx + c, der opfylder f(1) = 1,f(2) = 3. (M.a.o. find en parabel (med lodret symmetri-akse) i R 2 , der g˚ar gennem punkterne (1,1) og (2,3)). Bestem endvidere samtlige s˚adanne parabler. Opgave 6. Skriv vektoren (7,8) som linearkombination af vektorerne a 1 = (2,4) og a 2 = (3,5). Opgave 7. Angiv den fuldstændige løsning til det inhomogene lineære ligningssystem x1 +2x2 +3x3 −6x4 = 5 x1 +2x2 −3x3 = 17. Facit f.eks. (11,0, −2,0)+s(−2,1,0,0)+t(3,0,1, 1) eller (11 −2s+3t,s, −2+t,t), s,t ∈ R. Da der skal to parametre til løsningsbeskrivelsen, kan der forekomme andre rigtige løsningsbeskrivelser, som ikke umiddelbart ser ud til at beskrive den samme løsningsmængde. F.eks. (9,1, −2,0) + s(1,1,1,1) + t(−5,1, −1, −1). Opgave 8. Betragt det inhomogene lineære ligningssystem x1 +x2 +x3 +x4 +x5 = 1 x1 +x3 +x5 = 3 x2 +2x4 = 0.
Page 1: Lineær Algebra og Differentiallign
Page 5 and 6: 1. KOORDINATVEKTORER 1 Dette notes
Page 7 and 8: 1. KOORDINATVEKTORER 3 P˚a grund a
Page 9 and 10: 1. KOORDINATVEKTORER 5 span(u 1, u
Page 11 and 12: 2. MATRICER 7 med reelle tal. Rækk
Page 13 and 14: 2. MATRICER 9 Sætning 2 Givet en m
Page 15 and 16: 2. MATRICER 11 hvor enkeltlinier be
Page 17 and 18: 2. MATRICER 13 2.2 Kædereglen i ma
Page 19 and 20: 3. LINEÆRE FUNKTIONER 15 3 Lineær
Page 21 and 22: 3. LINEÆRE FUNKTIONER 17 et fast t
Page 23 and 24: 3. LINEÆRE FUNKTIONER 19 Bevis. La
Page 25 and 26: 4. INVERSE MATRICER 21 Hvis B er b
Page 27 and 28: 5. LINEÆRE LIGNINGSSYSTEMER 23 et
Page 29 and 30: 5. LINEÆRE LIGNINGSSYSTEMER 25 Den
Page 31 and 32: 5. LINEÆRE LIGNINGSSYSTEMER 27 lig
Page 33 and 34: 5. LINEÆRE LIGNINGSSYSTEMER 29 end
Page 35 and 36: 5. LINEÆRE LIGNINGSSYSTEMER 31 Vi
Page 37 and 38: 6. LØSNINGSTEKNIK 33 der indsat i
Page 39 and 40: 6. LØSNINGSTEKNIK 35 ⎡ ⎣ 2 −
Page 41 and 42: 6. LØSNINGSTEKNIK 37 lutter 0’er
Page 43: 6. LØSNINGSTEKNIK 39 Eksempel 1. V
Page 47 and 48: 7. RÆKKEOPERATIONS-MATRICER OG INV
Page 53 and 54: 8. DETERMINANTER 49 2) Hvad er ledn
Page 55 and 56: 8. DETERMINANTER 51 det(I n ) = 1 E
Page 57 and 58: 8. DETERMINANTER 53 nederst”), m
Page 59 and 60: 9. EGENVÆRDIER OG EGENVEKTORER 55
Page 69 and 70: 10. DIAGONALISERING 65 Ved en diago
Page 71 and 72: 10. DIAGONALISERING 67 og mere gene
Page 73 and 74: 10. DIAGONALISERING 69 dobbeltrod (
Page 75 and 76: 10. DIAGONALISERING 71 Udregn speci
Page 77 and 78: 11. SKALARPRODUKT I R N 73 s˚a er
Page 79 and 80: 12. ORTOGONAL PROJEKTION 75 udspæn
Page 81 and 82: 12. ORTOGONAL PROJEKTION 77 Nævner
Page 83 and 84: 12. ORTOGONAL PROJEKTION 79 Venstre
Page 85 and 86: 12. ORTOGONAL PROJEKTION 81 12.1 Mi
Page 87 and 88: 12. ORTOGONAL PROJEKTION 83 Med not
Page 89 and 90: 13. ANDRE SÆTNINGER OM SKALARPRODU
Page 91 and 92: 13. ANDRE SÆTNINGER OM SKALARPRODU
Page 93 and 94: 14. LINEÆR DIFFERENTIALLIGNING 89
Page 95 and 96:
14. LINEÆR DIFFERENTIALLIGNING 91
Page 97 and 98:
Page 99 and 100:
Page 101 and 102:
15. LINEÆRT SYSTEM - 2 LIGNINGER 9
Page 103 and 104:
Page 105 and 106:
Page 107 and 108:
Page 109 and 110:
Page 111 and 112:
16. LINEÆRT SYSTEM - N LIGNINGER 1
Page 113 and 114:
16. LINEÆRT SYSTEM - N LIGNINGER 1
Page 115 and 116:
17. GENEREL LIGNING 111 Definition
Page 117 and 118:
18. STABILITET 113 Eksempel 3.[Eksp
Page 119 and 120:
18. STABILITET 115 Eksempel 1.[Logi
Page 121 and 122:
Index 1. ordens differentialligning
Page 123:
INDEX 119 skalarprodukt, 72 span, 4
show all

Lineær Algebra Differentialligninger

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

Delete template?

Save as template?