Lineær Algebra Differentialligninger
Lineær Algebra Differentialligninger
Lineær Algebra Differentialligninger
Create successful ePaper yourself
Turn your PDF publications into a flip-book with our unique Google optimized e-Paper software.
9. EGENVÆRDIER OG EGENVEKTORER 59<br />
dvs. ligningssystemet<br />
−x1 +x3 = 0<br />
−x2 +x3 = 0<br />
2x1 −x2 −x3 = 0<br />
Som det fremg˚ar af beviset for Sætning 13, s˚a kan en kvadratisk matrix med determinant<br />
= 0 række-reduceres til en matrix med en nulrække nederst. Det homogene<br />
lineære ligningssystem, der skal løses for at finde egenvektorer hørende til en given<br />
egenværdi λ, kan alts˚a ogs˚a være et ligningssystem med en triviel ligning 0 = 0<br />
nederst, for λ var jo fundet s˚adan, at koefficient-matricen havde determinant = 0.<br />
I det ovenst˚aende ligningssystem f˚as s˚aledes en nul-ligning nederst ved at addere<br />
2 gange første ligning, og subtrahere anden lining, fra den nederste ligning.<br />
En partikulær løsning er f.eks. (x1, x2, x3) = (5, 5, 5), der er en egenvektor<br />
for matricen A hørende til egenværdien 2. Enhver vektor af form (t, t, t) (hvor<br />
t ∈ R) er faktisk en egenvektor. Det er faktisk en parameterfremstilling for<br />
mængden af samtlige egenvektorer for A hørende til egenværdien 2. (Man<br />
kan godt komme ud for, at der skal to eller flere parametre til at beskrive<br />
mængden af egenvektorer hørende til en given egenværdi for en given matrix.<br />
F.eks. er alle vektorer i R n egenvektorer med egenværdi 1 for matricen I n .)<br />
Opgave B. Det oplyses, at tallet 0 er egenværdi for matricen A fra Eksempel<br />
4 ovenfor. Find samtlige egentlige egenvektorer hørende til denne egenværdi.<br />
Eksempel 5. Vi vender tilbage til matricen F, som vi studerede i forbin-<br />
delse med Fibonaccis populationsmodel,<br />
nomium er −λ 1<br />
1 1 − λ<br />
der har rødder<br />
0 1<br />
1 1<br />
<br />
<br />
<br />
= λ2 − λ − 1,<br />
λ = 1 ± √ 5<br />
;<br />
2<br />
<br />
. Dens karakteristiske poly-<br />
disse to tal er alts˚a “Fibonacci-matricens” egenværdier. Den største af disse<br />
egenværdier er, med ni decimaler, 1.618033989. Vi har ovenfor allerede ob-<br />
serveret, at 1.62 “næsten” var en egenværdi. Tallet 1+√ 5<br />
2 er siden oldtiden<br />
blevet kaldt “det gyldne snit”.<br />
Eksempel 6. Vis, at 1 er den eneste egenværdi for enhedsmatricen I n . Vis,<br />
at enhver vektor i R n er egenvektor for I n hørende til egenværdien 1. Der<br />
skal alts˚a n parametre til at beskrive rummet af egenvektorer for I n hørende<br />
til egenværdien 1.