Lineær Algebra Differentialligninger

36
én parameter for hver pivot-fri søjle i koefficient-matricen (medmindre
ligningssystemet er inkonsistent, hvilket række-echelon formen ogs˚a vil
afsløre).
Vi siger, at et ligningssystem er p˚a række-echelon form, hvis koefficientmatricen
er p˚a række-echelon form, som defineret nedenfor.
Ligningssystemerne (15), (19), og (20) er p˚a række-echelon-form. Pivot’erne
er de først opskrevne led (= 0) i hver ligning. Lad os f.eks. kigge nærmere
p˚a (19). I (19) er det s˚aledes 2x1 i første ligning, x2 i anden og −3x4 i tredie
ligning, der er pivot’er (bedre: det er de tilsvarende indgange i koefficientmatricen,
der er pivot’er). Der er en pivot-fri søjle i (koefficient-matricen
hørende til) (19), nemlig tredie søjle, svarende til den ubekendte x3, og den
baglæns substitution gav da ogs˚a en beskrivelse af løsningsmængden med
x3 = t som parameter, jvf. (21).
Række-operationer er manipulationer af følgende art, som kan foretages
p˚a et lineært ligningssystem eller en matrix. For lineære ligningssystemer er
de:
• 1) Ombytning af to af ligningerne i ligningssystemet
• 2) Multiplikation af en af ligningerne med et tal = 0
• 3) Addition af et multiplum af en ligning til en anden.
For matricer, tilsvarende
• 1) Ombytning af to af rækkerne
• 2) Multiplikation af en af rækkerne med et tal = 0
• 3) Addition af et multiplum af en række til en anden.
Række-operationer p˚a en matrix ændrer ikke dens format. Men andre
egenskaber vil i reglen ændres (f.eks. evt. egenværdier).
En pivot (“nøgleled”, “krumtap”) i en matrix er en indgang, som ikke er
0, men hvor alle indgange til venstre for, i samme række, er =0. En nulrække
i en matrix har ingen pivot’er; alle andre rækker har præcis én pivot, nemlig
den første indgang = 0.
Operationer af typen 2) kan bruges til at omdanne alle pivot’er a i en
matrix til 1-taller (multiplicer den p˚agældende række med a −1 ). Man kan
ogs˚a indkode den “baglænse substitution” ved hjælp af række-operationer;
det best˚ar i, at man ved hjælp af operation 3) skaffer sig 0’er oven over alle
pivot’er. Alt i alt kan man p˚a denne m˚ade skaffe en koefficientmatrix, der er
p˚a reduceret række-echelon form, som præciseret nedenfor.
I løbet af processen med at bringe et lineært ligningssystem p˚a rækkeechelon
form, kan der opst˚a nogle rækker i koefficient-matricen, indeholdende