Lineær Algebra Differentialligninger

2. MATRICER 9
Sætning 2 Givet en m×n matrix A og en n×1 matrix x (en søjlematrix); s˚a
er A ·x linearkombination af de n søjler i A, med koefficienter de n indgange
i x.
Mere præcis: lad os antyde matricen A som et n-tupel af søjler sj (hver med
m indgange). S˚a gælder
⎡ ⎤
⎡ ⎤ x1 ⎡ ⎤ ⎡ ⎤
| | ⎢
⎣ s1 · · · s ⎦ ⎢ x2
⎥ |
|
⎥
n · ⎢ ⎥ = x1 ⎣ s ⎦
1 + . . . + xn ⎣ s ⎦. n (2)
⎣
| |
. ⎦
|
|
xn
Dette er umiddelbart ud fra definitionen. En “tal-eksempel” er givet i Eksempel
2.
En kvadratisk matrix er en matrix med lige mange rækker og søjler, alts˚a
en n × n-matrix. En kvadratisk matrix kan multipliceres med sig selv; man
kan alts˚a danne B · B, eller f.eks
(B · B) · B = B · (B · B).
Lighedstegnet her følger af den associative lov for matrixmultiplikation. Vi
kan derfor godt tillade os at skrive B 3 for dette produkt.
Til en vilk˚arlig kvadratisk matrix kan man knytte en determinant (som
er et tal) jvf. §8 nedenfor; for 2 × 2 og 3 × 3 matricer er dette ogs˚a omtalt i
[S] 9.4 (s. 670-671).
For hvert positivt helt tal n er der en særlig vigtig kvadratisk matrix, af
format n × n, som kaldes identitetsmatricen af dimension n. Den betegnes
I , eller blot I, hvis n er klar fra sammenhængen. Den har 1-taller “i diago-
n
nalen”, alts˚a p˚a alle pladser med adresse af form (i, i), og 0’er p˚a alle pladser
uden for diagonalen, alts˚a p˚a alle indgange med adresse af form (i, j), hvor
i = j. For n = 3 ser den alts˚a s˚aledes ud:
⎡
I = ⎣
3
1 0 0
0 1 0
0 0 1
for overskueligheds skyld udelader man ofte 0’erne i matricer med mange
0’er, og s˚a kan I alts˚a ogs˚a opskrives
3
⎡
1
⎤
I = ⎣
3
1 ⎦.
1
Identitetsmatricerne er interessante p.gr. af følgende sætning:
⎤
⎦ ;