Lineær Algebra Differentialligninger

More documents

Recommendations

Info

98 homogent og er den homogene part af det inhomogene, b = 0, system dy dx = Ay + b Den lineære struktur af løsningsrummet g˚ar igen fra den lineære ligning. I det homogene tilfælde er linearkombinationer af løsninger igen løsninger. Det ses, at løsningen af det inhomogene problem reduceres til det tilsvarende homogene problem samt angivelse af bare én partikulær løsning. Sætning 26 Betragt 2 × 2-matricen A = (aij) og 2-søjlen y(x) = (yi(x)). Hvis z1(x),z2(x) er løsninger til det homogene lineœre differentialligningssystem dy = Ay dx s˚a er enhver linearkombination z(x) = C1z1(x) + C2z2(x) ogs˚a en løsning. Betragt yderligere 2-søjlen b. Hvis z0(x) er en løsning til det inhomogene lineœre differentialligningssystem s˚a er enhver løsning af formen dy dx = Ay + b y(x) = z(x) + z0(x) hvor z(x) er en løsning til den homogene part af systemet. Bevis. Som for Sætning 22. Inddragelse af teorien for egenværdier og egenvektorer forenkler teknikken betydeligt. En egenvektor giver en 1-parameter mængde af løsninger for det homogene system. Eksempel 1. Systemet y ′ 1 y ′ 2 = λ1y1 = λ2y2
15. LINEÆRT SYSTEM - 2 LIGNINGER 99 har diagonalmatricen λ1 0 Λ = 0 λ2 som koefficientmatrix. e1,e2 er egenvektorer og basis for R 2 . Fra Sætning 23 f˚as den fuldstændige løsning y1(x) = C1e λ1x , y2(x) = C2e λ2x P˚a vektorform giver dette y1(x) C1e y(x) = = y2(x) λ1x C2eλ2x λ1x e = C1 + C2 0 eller udtrykt ved egenvektorerne y(x) = C1e λ1x e1 + C2e λ2x e2 0 eλ2x Sætning 27 Betragt 2 × 2-matricen A = (aij) og 2-søjlen y(x) = (yi(x)) samt det homogene lineœre differentialligningssystem dy = Ay dx Hvis u er en egenvektor for A med egenvœrdi λ, s˚a er løsninger, hvor C er arbitrœr. Bevis. Gør prøve y(x) = Ce λx u dy dx = Cλeλx u = Ce λx Au = Ay Det er ofte muligt at finde en konstant løsning. Kombineres dette med Sætning 26 og 27 kan en én parameter mængde af løsninger angives. Sætning 28 Betragt 2×2-matricen A = (aij) og 2-søjlerne b = (bi), y(x) = (yi(x)) samt det lineœre differentialligningssystem dy = Ay + b dx En konstant funktion y(x) = v er en løsning, hvis Av = −b. Hvis yderligere u er en egenvektor for A med egenvœrdi λ, s˚a er løsninger, hvor C er arbitrœr. y(x) = Ce λx u + v
Page 1:
Lineær Algebra og Differentiallign
Page 5 and 6:
1. KOORDINATVEKTORER 1 Dette notes
Page 7 and 8:
1. KOORDINATVEKTORER 3 P˚a grund a
Page 9 and 10:
1. KOORDINATVEKTORER 5 span(u 1, u
Page 11 and 12:
2. MATRICER 7 med reelle tal. Rækk
Page 13 and 14:
2. MATRICER 9 Sætning 2 Givet en m
Page 15 and 16:
2. MATRICER 11 hvor enkeltlinier be
Page 17 and 18:
2. MATRICER 13 2.2 Kædereglen i ma
Page 19 and 20:
3. LINEÆRE FUNKTIONER 15 3 Lineær
Page 21 and 22:
3. LINEÆRE FUNKTIONER 17 et fast t
Page 23 and 24:
3. LINEÆRE FUNKTIONER 19 Bevis. La
Page 25 and 26:
4. INVERSE MATRICER 21 Hvis B er b
Page 27 and 28:
5. LINEÆRE LIGNINGSSYSTEMER 23 et
Page 29 and 30:
5. LINEÆRE LIGNINGSSYSTEMER 25 Den
Page 31 and 32:
5. LINEÆRE LIGNINGSSYSTEMER 27 lig
Page 33 and 34:
5. LINEÆRE LIGNINGSSYSTEMER 29 end
Page 35 and 36:
5. LINEÆRE LIGNINGSSYSTEMER 31 Vi
Page 37 and 38:
6. LØSNINGSTEKNIK 33 der indsat i
Page 39 and 40:
6. LØSNINGSTEKNIK 35 ⎡ ⎣ 2 −
Page 41 and 42:
6. LØSNINGSTEKNIK 37 lutter 0’er
Page 43 and 44:
6. LØSNINGSTEKNIK 39 Eksempel 1. V
Page 45 and 46:
6. LØSNINGSTEKNIK 41 Opgaver Opgav
Page 47 and 48:
7. RÆKKEOPERATIONS-MATRICER OG INV
Page 49 and 50:
7. RÆKKEOPERATIONS-MATRICER OG INV
Page 51 and 52: 7. RÆKKEOPERATIONS-MATRICER OG INV
Page 53 and 54: 8. DETERMINANTER 49 2) Hvad er ledn
Page 55 and 56: 8. DETERMINANTER 51 det(I n ) = 1 E
Page 57 and 58: 8. DETERMINANTER 53 nederst”), m
Page 59 and 60: 9. EGENVÆRDIER OG EGENVEKTORER 55
Page 69 and 70: 10. DIAGONALISERING 65 Ved en diago
Page 71 and 72: 10. DIAGONALISERING 67 og mere gene
Page 73 and 74: 10. DIAGONALISERING 69 dobbeltrod (
Page 75 and 76: 10. DIAGONALISERING 71 Udregn speci
Page 77 and 78: 11. SKALARPRODUKT I R N 73 s˚a er
Page 79 and 80: 12. ORTOGONAL PROJEKTION 75 udspæn
Page 81 and 82: 12. ORTOGONAL PROJEKTION 77 Nævner
Page 83 and 84: 12. ORTOGONAL PROJEKTION 79 Venstre
Page 85 and 86: 12. ORTOGONAL PROJEKTION 81 12.1 Mi
Page 87 and 88: 12. ORTOGONAL PROJEKTION 83 Med not
Page 89 and 90: 13. ANDRE SÆTNINGER OM SKALARPRODU
Page 91 and 92: 13. ANDRE SÆTNINGER OM SKALARPRODU
Page 93 and 94: 14. LINEÆR DIFFERENTIALLIGNING 89
Page 101: 15. LINEÆRT SYSTEM - 2 LIGNINGER 9
Page 105 and 106: 15. LINEÆRT SYSTEM - 2 LIGNINGER 1
Page 111 and 112: 16. LINEÆRT SYSTEM - N LIGNINGER 1
Page 113 and 114: 16. LINEÆRT SYSTEM - N LIGNINGER 1
Page 115 and 116: 17. GENEREL LIGNING 111 Definition
Page 117 and 118: 18. STABILITET 113 Eksempel 3.[Eksp
Page 119 and 120: 18. STABILITET 115 Eksempel 1.[Logi
Page 121 and 122: Index 1. ordens differentialligning
Page 123: INDEX 119 skalarprodukt, 72 span, 4
show all

Lineær Algebra Differentialligninger

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?