Lineær Algebra Differentialligninger

15. LINEÆRT SYSTEM - 2 LIGNINGER 97
engenværdier kan et system af differentialligninger reduceres til lineære differentialligninger,
som kan løses ved metoder fra afsnit 14. Tilfældet med to
ligninger behandles særskilt i dette afsnit. En præcis definition efterfølges
af en sætning om løsningsrummets lineære struktur. En egenvektor giver en
1-parameter mængde af løsninger. For en diagonaliserbar matrix kan den
fuldstændige løsning angives. Et par opgaveforslag behandles. I næste afsnit
gives den generelle formulering for et vilk˚arligt antal ligninger.
Den præcise definition og gængs sprogbrug er en umiddelbar udvidelse af
tilsvarende definition og sprogbrug i afsnit 14.
Definition 1. Ved et lineœrt 1. ordens differentialligningssystem (2 ligninger)
med konstante koefficienter forst˚as
dy1
dx = a11y1 + a12y2 + b1
dy2
dx = a21y1 + a22y2 + b2
En partikulær løsning er differentiable funktioner
som indsat opfylder ligningerne
x ↦→ y1(x), x ↦→ y2(x)
y ′ 1 (x) = a11y1(x) + a12y2(x) + b1
y ′ 2(x) = a21y1(x) + a22y2(x) + b2
Løsningsrummet, den fuldstændige løsning er angivelsen af alle løsninger.
For 2 × 2-matricen A = (aij), koefficientmatricen, og 2-søjlerne b = (bi),
y(x) = (yi(x)) skrives det lineære differentialligningssystem
eller dy1
dx
dy2 =
dx
En løsning skrives
dy
dx
a11 a12
= Ay + b
a21 a22
x ↦→ y(x) =
y1
+
y2
y1(x)
y2(x)
Bemærkning 1. Givet 2 × 2-matricen A = (aij) og 2-søjlerne b = (bi),
y(x) = (yi(x)) kaldes systemet
dy
dx
= Ay
b1
b2