Lineær Algebra Differentialligninger

40
som man kan kontrollere passer. Andre valg af parameterværdierne s og t
ville ogs˚a give løsninger til matrixligningen i Eksempel 1.
Eksempel 3. De to matricer fra Eksempel 2 kan ogs˚a multipliceres sammen
i modsat rækkefølge. Det ses ved udregning, at
⎡
⎣
5 0
−7 1
1 1
2
⎤
⎦ ·
2 1 −2
5 3 −4
Eksempel 4. Løs matrixligningen
2 1
5 3
·
x11 x12
x21 x22
⎡
= ⎣
=
10 5 −10
−9 −4 10
4.5 2.5 −4
1 0
0 1
2 1
(I terminologien fra §4 er det alts˚a en højre invers matrix til matricen
5 3
der søges.) Denne ligning ses ved at multiplicere matricerne ud, og sammenligne
dem plads for plads, at være ensbetydende med følgende lineære
ligningssystem p˚a fire ligninger med fire ubekendte x11, x12, x21, x22:
.
2x11 + x21 = 1
5x11 + 3x21 = 0
2x12 + x22 = 0
5x12 + 3x22 = 1
Denne metode til at finde en invers matrix p˚a, er ikke særlig praktisk; en
mere effektiv metode demonstreres, for vilk˚arlige m × m matricer, i følgende
§7. Det er iøvrigt en opgave, man i dag gerne lægger i “hænderne” p˚a en
computer, forsynet med matematik-programpakker som Maple, Mathematica
ell.l.
Det anbefales ved løsning af lineære ligningssystemer altid at skrive hele systemet
op hver gang man har lavet en eller flere rækkeoperationer p˚a det. - Iøvrigt
er et klart, at man kan spare at skrive xi’erne, s˚avel som plus- og lighedstegnene.
Betragt f.eks. et ligningssystem p˚a m ligninger med n ubekendte. Man opererer
s˚a faktisk med en m × (n + 1)-matrix, hvor den tilføjede søjle (den sidste)
er ligningssystemets højre side. Man adskiller den fra den øvrige matrix ved en
lodret streg. Dens indgange deltager i rækkeoperationerne. Men hvilke rækkeoperationer,
der skal foretages, dirigeres udelukkende af hvad der st˚ar til venstre
for delestregen. For homogene lineære ligningssystemer kan man spare højresiden,
der jo er 0-vektoren, og vedbliver at være det under alle rækkeoperationer.
.
⎤
⎦.
,