Lineær Algebra Differentialligninger

7. RÆKKEOPERATIONS-MATRICER OG INVERSION 47
Projekter
1. Varmemester-Projekt.
Betragt en lejlighed med tre værelser, x, y og z, som optegnet nedenfor;
de tilstødende vægges temperatur er betegnet a, b, c osv.; de tænkes holdt
konstant:
a
a c
b d
b
temperaturen i hvert værelse antages at være gennemsnittet af de fire tilstødende
temperaturer. Angiv (x, y, z) som funktion af (a, b, c, d). (Funktionen
er en lineær funktion R 4 → R 3 , s˚a den kan angives ved hjælp af en 3 × 4
matrix.)
2. Bikube. Betragt tre sammenstødende seks-kantede celler (X, Y, Z) i en
bikube. Antag at temperaturen i hver af de tre celler er gennemsnittet af
temperaturen i de seks tilstødende vægge. Angiv temperaturen i X, Y og Z
som funktion af temperaturen i de 9 tilstødende celler.
3. Mere varmemester. I et værelse med vægge af forskelligt areal antages
temperaturen at være et vægtet gennemsnit af temperaturene i de tilstødende
værelsers temperaturer, idet hver væg vægtes med faktor = arealet. Hvis
f.eks. det drejer sig om et trekantet værelse med vægge af areal 3,4 og 5, og
temperaturen i de tilstødende værelser er henholdsvis a, b og c, s˚a er værelsets
temperatur (ifølge denne model)
d
3 · a + 4 · b + 5 · c
.
3 + 4 + 5
Betragt to trekantede værelser, der har en væg fælles, som p˚a nedenst˚aende
figur. De anførte tal (indvendigt i figuren) angiver de p˚agældende vægges
areal. De udvendige tal angiver temperatur:
c