Lineær Algebra Differentialligninger

86
Bevis. Begge udsagn er trivielle hvis u = 0, s˚a lad os antage u = 0. I
dette tilfælde kan vi betragte vektoren proju(v). Denne vektor er af form ku med
k = (u • v)/(u • u) (jævnfør formlen for ortogonal projektion), og restvektoren
w = v − ku er ortogonal p˚a u. Ifølge Pythagoras gælder derfor |ku| 2 + |w| 2 = |v| 2 ,
hvoraf |ku| 2 ≤ |v| 2 , (og der gælder lighedstegn præcis hvis restvektoren er 0, dvs.
hvis v = ku).
✏✏✏✏✏✏✏✏✏✏✏✏✏✏✏ ✏✏✏✏✏✶ ✏✏✏✏✏✏✏✏✏✶ v ✒❇▼
w
❇
❇
❇
proju(v)
✱ u
✱✱✱✱✱✱✱
Indsættes udtrykket for k, kan denne ulighed skrives
(u • v) 2
(u • u) 2(u • u) ≤ v • v
(og der gælder lighedstegn præcis hvis restvektoren er 0, dvs. hvis v == ku). Ved
forkortning p˚a venstre side f˚as
(u • v) 2
u • u
≤ v • v,
og multipliceres p˚a begge sider af ulighedstegnet med u • u (som er > 0), f˚as
uligheden; (og der gælder lighedstegn præcis hvis restvektoren er 0, dvs. hvis
v == ku).
Eksempel. |(3, 4)| = √ 3 2 + 4 2 = 5, og tilsvarende |(5, 12)| = 13. Vi har
|(3, 4) •(5, 12)| = |15+48| = 63, mens |(3, 4)| · |(5, 12)| = 5 ·13 = 65. Cauchy-
Schwarz foruds˚a alts˚a i dette tilfælde, at 63 ≤ 65. Der er ikke meget at give
væk af !
Det følger af Cauchy-Schwarz’ ulighed, at for to vilk˚arlige egentlige vektorer
u og v gælder
| u • v
≤ 1,
|u| · |v|
og derfor giver det mening at tage arccos p˚a venstre side, og definere vinklen
mellem u og v:
u • v
(u, v) := arccos(
|u| · |v| ).
Læg mærke til, at i [S] (s. 661) defineres prik-produkt af to vektorer ud fra
cos, som i dimension 2 og 3 anses for givet p˚a forh˚and ad geometrisk vej.