Lineær Algebra Differentialligninger
Lineær Algebra Differentialligninger
Lineær Algebra Differentialligninger
Create successful ePaper yourself
Turn your PDF publications into a flip-book with our unique Google optimized e-Paper software.
9. EGENVÆRDIER OG EGENVEKTORER 55<br />
og s˚a ville begrebet ‘egenværdi’ være et tomt begreb. – I nogle fremstillinger<br />
af lineær algebra er en egenvektor pr. konvention en egentlig vektor.<br />
Eksempel 1. Vektoren (−3, 1) er en egenvektor for 2 × 2 matricen A =<br />
<br />
3 3<br />
; den tilhørende egenværdi er 2. Thi<br />
−2 −4<br />
<br />
3 3 −3 −6 −3<br />
· = = 2 · .<br />
−2 −4 1 2 1<br />
Hvis en vektor u er en egenvektor for en matrix A, med tilhørende<br />
egenværdi λ, s˚a er, for vilk˚arligt tal c, ogs˚a c · u en egenvektor for A, med<br />
tilhørende egenværdi λ:<br />
A · (c · u) = c · (A · u) = c · (λ · u) = λ · (c · u).<br />
Det følger af elementære regneregler for matricer. Men vi kan sige lidt mere:<br />
se Sætning 15 nedenfor.<br />
<br />
−1 −2<br />
Opgave A. Betragt matricen givet ved A = . For hver af<br />
4 5<br />
følgende vektorer skal man afgøre, om de er egenvektorer for A; for dem, der<br />
er egenvektorer, skal man angive den tilhørende egenværdi: u1 = (4, −4), u2 =<br />
(1, 2), u3 = (−1, 2), u4 = (−10, 20). (Af typografiske grunde er disse vektorer<br />
skrevet som rækkevektorer i stedet for som søjlevektorer.)<br />
Givet en n×n-matrix. Vi skal stille og besvare to spørgsm˚al. 1) Hvordan<br />
ser man p˚a et tal λ om det er en egenværdi for matricen ? 2) Antag, at vi<br />
ved, at tallet λ er en egenværdi for matricen, hvordan finder vi s˚a tilhørende<br />
egenvektorer ? Vi begynder med spørgsm˚al 1.<br />
Hvordan ser man p˚a et tal λ om det er en egenværdi for en given n × n<br />
matrix A ? Pr. definition betyder det, at der findes en egentlig egenvektor,<br />
dvs. en egentlig x ∈ R n (x = (x1, . . .,xn)) med A · x = λ · x; det betyder<br />
igen, at ligningssystemet<br />
A · x = λ · x (26)<br />
har en egentlig løsning x. Dette ligningssystem er et let kamufleret lineært<br />
ligningssystem – (kamuflagen er, at de ubekendte xi’er optræder p˚a begge<br />
sider af lighedstegnet). Lad os skrive ligningssystemet helt ud (indgangene i<br />
matricen A betegnes aij):<br />
a11x1 +a12x2 + . . . +a1nxn = λx1<br />
a21x1 +a22x2 + . . . +a2nxn = λx2<br />
.<br />
an1x1 +an2x2 + . . . +annxn = λxn<br />
. ..