Lineær Algebra Differentialligninger

2. MATRICER 13
2.2 Kædereglen i matrix-formulering.
En differentiabel afbildning g : R n → R m kan beskrives ved et m-tupel af differentiable
afbildninger gi : R n → R, i = 1,... ,m:
g(u1,... ,un) = (g1(u1,... ,un),... ,gm(u1,... ,un)).
Skriv kort u for n-tuplet (u1,...,un).
Ved Jacobi-matricen for g i et givet u ∈ R n forst˚as m × n matricen
⎡
⎢
⎣
∂g1/∂u1 · · · ∂g1/∂un
∂g2/∂u1 · · · ∂g2/∂un
.
.
∂gm/∂u1 · · · ∂gm/∂un
hvor alle de partielle afledede skal evalueres i punktet u. Vi skriver kort d(g)
for denne matrix; eller du(g), hvis der er behov for at gøre det punkt u, som vi
evaluerer de partielle afledede i, explicit.
Kædereglen kan nu udtrykkes:
Jacobi-matricen for en sammensat afbildning er lig med matrix-produktet af
Jacobi-matricerne for hver af de to afbildninger.
Dvs. hvis vi har afbildninger
s˚a er
R n
g ✲ R m
⎤
⎥
⎦ ,
f ✲ R p ,
d(f ◦ g) = d(f) · d(g), (3)
hvor det er underforst˚aet i hvilke punkter de tre Jacobi-matricer (dvs. de partielle
afledede, der er deres indgange) skal evalueres. Hvis man f.eks. ønsker d(f ◦ g)
evalueret i u, s˚a skal d(g) evalueres i samme u, mens d(f) skal evalueres i g(u).
–Prikken til højre betegner matrix-produkt; læg mærke til, at de to matricer har
format p × m og m × n, s˚a at produktet giver mening, og er en p × n matrix. I
eksemplerne i [S] er p = 1.
Opgaver
Opgave 1. Udregn matrix-produkterne
2 1
2 4
3 1
·
0 1
og
3 1
0 1
2 1
·
2 4